Title Toán thực tế 9_Chuyên đề 10_Một số yếu tố xác suất__Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 10. MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Phép thử Phép thử là một trong những khái niệm cơ bản của xác suất. Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát... được hiểu là phép thử. Chẳng hạn như là gieo một đồng xu, rút một quân bài từ cỗ bài tú lơ khơ (52 lá) hay bắn một viên đạn vào bia ... là những ví dụ về phép thử. Khi gieo một đồng xu ta không thể đoán trước được đồng xu rơi mặt ngửa viết tắt là N hay mặt sấp viết tắt là S sẽ xuất hiện. Đó là ví dụ về phép thử ngẫu nhiên. Một cách tổng quát: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Để đơn giản ta gọi phép thử ngẫu nhiên là phép thử. Trong chương trình Toán học phổ thông ta chỉ xét phép thử có một số hữu hạn kết quả. 2. Không gian mẫu Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là  (đọc là ô-mê-ga). Ví dụ 1: Gieo 1 đồng xu thì không gian mẫu là  = N S,  . Ở đây N kí hiệu mặt ngửa còn S kí hiệu mặt sấp. Ví dụ 2: Gieo 1 đồng xu 2 lần thì không gian mẫu là  = NN NS SN SS , , , . Ở đây N kí hiệu mặt ngửa còn S kí hiệu mặt sấp. SN được kí hiệu là lần đầu sấp lần 2 ngửa. 3. Biến cố Ví dụ 3: Gieo 1 đồng xu 2 lần thì không gian mẫu là  = NN NS SN SS , , , . Ta thấy sự kiện A : “Kết quả của hai lần gieo là như nhau” có thể xảy ra khi phép thử được tiến hành. Nó xảy ra khi và chỉ khi 1 trong 2 kết quả SS, NN xảy ra. Như vậy sự kiện A tương ứng với một và chỉ một tập con A NN SS ={ , } của không gian mẫu. Chính vì lẽ đó ta đồng nhất chúng với nhau và viết A NN SS =  ,  . Ta nói A là một biến cố. + Tương tự như thế biến cố B : “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp” được viết là B NS SN SS =  , ,  . + Tập con C SN SS =  ,  là biến cố có thể phát biểu là “mặt sấp xuất hiện trong lần gieo đầu tiên”. + Các biến cố A B C ở trên đều gắn liền với các phép thử gieo một đồng xu 2 lần nên liên quan đến phép thử đã cho. + Một cách tổng quát, mỗi biến cố liên quan đến một phép thử được mô tả bởi tập con của không gian mẫu. Từ đó ta có định nghĩa: Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Như vậy một biến cố liên quan đến phép thử là một tập hợp bao gồm các kết quả nào đó của phép thử. + Cần chú ý rằng biến cố đôi khi được cho dưới dạng một mệnh đề xác định tập hợp đă cho ở ví dụ 3 trên hoặc trong phép thử gieo con súc sắc biến cố A “xuất hiện mặt chẵn” được cho dưới dạng mệnh đề xác định tập con A = 2;4;6 của không gian mẫu  = 1;2;3;4;5;6. + Người ta thường kí hiệu các biến cố bằng chữ in hoa A,B,C Ta nói biến cố A,B mà không nói gì thêm thì ta hiểu nó sẽ liên quan đến một phép thử. Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được gọi là biến cố chắc chắn.
Chẳng hạn khi gieo con xúc xắc biến cố “Con xúc xắc xuất hiện 7 chấm” là biến cố không, còn biến cố “Con xúc xắc xuất hiện mặt chấm không quá 6” là biến cố chắc chắn. Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của A . Như vậy biến cố không thể (tức là  ) không bao giờ xảy ra trong khi đó biến cố  chắc chắn xảy ra. 4. Biến cố đồng khả năng. Nếu chỉ xảy ra A hoặc B cả A B, là hai biến cố đồng khả năng xảy ra thì xác suất của chúng bằng nhau và bằng 1 2 (hay 50% ). Trong một trò chơi hay thí nghiệm, nếu có k biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong k biến cố này thì xác suất của mỗi biến cố đó đều bằng 1 k . 5. Biến cố không đồng khả năng. Nếu có k biến cố mà ít nhất 2 biến cố khác nhau về khả năng xảy ra gọi là biến cố không đồng khả năng. Tổng các biến cố luôn cộng lại là 100% . Lưu ý: Cùng với một số khái niệm về biến cố chúng ta đã học ở các lớp 6 7 8 các bạn phải xem lại để củng cố bài tập. B. BÀI TẬP Bài 1. Tấm bìa cứng A hình tròn được chia thành 3 hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số 1; 2; 3 và tấm bìa cứng B hình tròn được chia thành 5 hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số 1; 2; 3; 4; 5 (xem hình vẽ). Trục quay của A và B được gắn mũi tên ở tâm. Bạn Bình quay tấm bìa A, bạn An quay tấm bìa B. Quan sát xem mũi tên dừng ở hình quạt nào trên hai tấm bìa. a) Mô tả không gian mẫu của phép thử. b) Tính xác suất của các biến cố sau: T: “ Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào bằng 6”; M: “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào nhỏ hơn 5” L: “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào là số chẵn”. Lời giải Ta lập bảng: A B 1 2 3 1 (1;1) (1;2) (1;3) 2 (2;1) (2;2) (2;3) 3 (3;1) (3;2) (3;3) 4 (4;1) (4;2) (4;3)
5 (5;1) (5;2) (5;3) Mỗi ô trong bảng trên là một kết quả có thể. Các kết quả có thể này là đồng khả năng. Không gian mẫu là  = (1;1 ; 1;2 ; 1;3 ; 2;1 ; 2;2 ; 2;3 ; 3;1 ; 3;2 ; 3;3 ; 4;1 ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4;2 ; 4;3 ; 5;1 ; 5;2 ; 5;3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) gồm 15 phần tử. b) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố T là (3;2) và (2;3) nên ( ) 2 15 P T = . Các kết quả thuận lợi cho biến cố M : Có 1 ô tích hai số bằng 1 là (1;1) . Có 2 ô có tích hai số bằng 2 là (1;2 ; 2;1 ) ( ) . Có 2 ô có tích hai số bằng 3 là (1;3 ; 3;1 ) ( ). Có 2 ô có tích hai số bằng 4 là (4;1 ; 2;2 ) ( ) . Do đó, có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố M nên ( ) 7 15 P M = . Tích ab là số chẵn khi và chỉ khi trong cặp (a;b) có ít nhất 1 số chẵn. Do đó, sẽ có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố L nên ( ) 9 3 15 5 P L = = . Bài 2. Một dĩa tròn bằng bìa cứng được chia thành 12 phần bằng nhau và ghi các số từ 1,2,3, ,12  . Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của dĩa. Xét phép thử “quay dĩa tròn 1 lần”. a) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Chiếc kim chi vào hình quạt ghi số chia hết cho 3”. b) Tính xác suất của biến cố A . Lời giải a) Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A : A = 3,6,9,12 b) Gọi  là không gian mẫu. Ta có:  =  1, 2,3, ,12 . Số phần tử của không gian mẫu là: 12. Vậy ( ) 4 1 12 3 P A = = . Bài 3. Tổ 1 của lớp 9 A có 12 học sinh, trong đó có 8 học sinh thích môn Toán và 7 học sinh thích môn Văn. Tính xác suất chọn ra 1 em học sinh bất kỳ vừa thích môn Văn, vừa thích môn Toán. Lời giải Số học sinh chỉ thích duy nhất môn Văn là: 12 8 4 − = (học sinh) Số học sinh vừa thích môn Văn vừa thích môn Toán là: 7 4 3 − = (học sinh). Xác suất để chọn ra 1 học sinh vừa thích môn Văn vừa thích môn Toán là: 3:12 = 25%. Bài 4. Lớp 9 A có 2 bạn nam hát hay là Khôi và Thiên; 2 bạn nữ hát hay là Phương và Dung. Cô chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 2 bạn để hát song ca trong lễ bế giảng năm học. a) Hãy liệt kê các cách chọn ngẫu nhiên 2 bạn để hát song ca. b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau: A: “Trong 2 bạn được chọn có 1 bạn nam và một bạn nữ” B: “Trong 2 bạn được chọn, có bạn Phương” Lời giải
a) Các cách chọn 2 bạn để hát song ca là: Khôi và Thiên; Khôi và Phương; Khôi và Dung; Thiên và Phương; Thiên và Dung; Dung và Phương. (6 cách) b) Các cách chọn để biến cố A xảy ra: Khôi và Phương; Khôi và Dung; Thiên và Phương; Thiên và Dung. (4 cách). Xác suất của biến cố ( ) 4 2 : 6 3 A P A = = . Các cách chọn để biến cố B xảy ra: Khôi và Phương; Thiên và Phương; Phương và Dung. (3 cách) Xác suất của biến cố ( ) 3 1 : 6 2 B P B = = . Bài 5. Tỉ lệ học sinh bị cận thị ở một trường trung học cơ sở là 16% . Gặp ngẫu nhiên một học sinh, xác suất học sinh đó không bị cận thị là bao nhiêu? Lời giải Giả sử trường đó có 100 học sinh. Khi đó, số học sinh bị cận chiếm 16% nên sẽ có khoảng 16 học sinh. Số học sinh không bị cận thị là: 100 16 84 − = (học sinh). Xác suất gặp ngẫu nhiên một bạn học sinh không bị cận thị là: 84 :100 0,84 = . Bài 6. Bạn An đến một hội chợ được tổ chức gần nhà trong dịp tết Nguyên Đán. Bạn tham gia trò chơi ném bi. Đích đến là một bảng có 25 ô như hình vẽ. 5 3 3 3 5 3 −2 −1 −2 3 3 −1 5 −1 3 3 −2 −1 −2 3 5 3 3 3 5 Cách tính điểm như sau: * Ném ra ngoài bảng trừ 5 điểm. * Ném vào một trong 25 ô điểm tính được ghi như hình bên. * Nếu sau 10 lần ném mà: - Đạt 50 điểm thì nhận được phần quà trị giá 500000 đồng. - Đạt từ 30 điểm đến 49 điểm thì nhận được phần quà trị giá 300000 đồng. - Đạt từ 15 điểm đến 29 điểm thì nhận được phần quà trị giá 50000 đồng. - Dưới 15 điểm không có quà. a) Trong 9 lần ném bi, bạn An ném được 5 lần vào ô điểm 5, một lần ra ngoài bảng, 2 lần vào ô điểm 3, một lần ô điểm -1 . Tính số điểm bạn An nhận được sau 9 lần ném. b) Hỏi bạn An có cơ hội nhận phần quà trị giá 300000 không? Nếu có thì bạn An phải ném vào ô nào? Tính xác suất để bạn An nhận được phần quà đó. Lời giải a) Tổng số điểm bạn An đạt được sau 9 lần ném: 5.5 5 2.3 1 25 − + + − = ( ) điểm. b) Vì để nhận được phần quà trị giá 300000 đồng bạn An phải đạt từ 30 điểm đến 49 điểm sau 10 lần ném, mà 30 25 5 − = điểm nên bạn An vẫn còn cơ hội để nhận quà. Do An đã ném 9 lần nên để nhận quà bạn chỉ còn 1 lần ném và phải ném vào ô điểm 5 Có 5 khả năng ném vào ô điểm 5 trên tổng số 26 khả