Title PHAN A. LY THUYET.docx ✅

1 PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ I. VECTƠ PHÁP TUYẾN. CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến Cho mặt phẳng ()P . Nếu vectơ n→ khác 0→ và có giá vuông góc với mặt phẳng ()P thì n→ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P . Ở Hình, vectơ n→ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P . Nhận xét: Nếu n→ là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì (0)knk→ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()Oxy . Giải Vectơ (0;0;1)k→ có giá là trục Oz và ()OzOxy nên (0;0;1)k→ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()Oxy . 2. Cặp vectơ chỉ phương Cho mặt phẳng ()P . Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ()P được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ()P . Ví dụ 2: Quan sát Hình. a) ,ABAD→→ có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ABCD hay không? Vì sao? b) ,BCCD→→ có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ABCD hay không? Vì sao? Giải a) Do hai vectơ ,ABAD→→ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng ABCD nên ,ABAD→→ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ABCD . b) Do hai vectơ ,BCCD→→ không cùng phương và có giá cùng song song với mặt phẳng ABCD nên ,BCCD→→ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ABCD . 3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương
2 Nếu hai vectơ 123123;;,;;aaaabbbb→→ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ()P thì 233112 233112 [,];;aaaaaa nab bbbbbb    → →→ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P . Ví dụ 3: Cho mặt phẳng ()P có cặp vectơ chỉ phương là (1;3;5),(3;1;1)ab→→ . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P . Giải Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P là: 355113 [,];;8;16;8 111331nab    → →→ II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG Trong trường hợp tổng quát, ta có: - Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mỗi mặt phẳng ()P có phương trình dạng 0AxByCzD , trong đó ,,ABC không đồng thời bằng 0. - Ngược lại, mỗi phương trình 0AxByCzD , trong đó ,,ABC không đổng thời bằng 0, đều xác định một mặt phẳng trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Phương trình 0(,,AxByCzDABC không đồng thời bằng 0 ) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số D gọi là hệ số tụ do của phương trình tổng quát. Nhận xét Ta có thể chứng minh được rằng nếu mặt phẳng ()P có phương trình tổng quát là 0,AxByCzD trong đó ,,ABC không đồng thời bằng 0, thì vectơ (;;)nABC→ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P . Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng? A. 210xyz . B. 210xyz . C. 210xyz .
3 D. 10xyz . Giải Ta thấy chỉ có phương trình 10xyz là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Chọn D Ví dụ 5: Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P : 210. xyz Giải Ta có: 2102(1)110xyzxyz . Mặt phẳng ()P nhận (2;1;1)n→ làm vectơ pháp tuyến. III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG BIẾT MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN 1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến Mặt phẳng ()P đi qua điểm 000;;Ixyz và nhận (;;)nABC→ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: 0000, .AxByCzDDAxByCz Chú ý: Mặt phẳng ()P đi qua điểm 000;;Ixyz và nhận (;;)nABC→ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 0000.AxxByyCzz Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phẳng ()P đi qua điểm (1;2;7)I và nhận (3;2;1)n→ làm vectơ pháp tuyến. Giải Phương trình mặt phẳng ()P là: 3(1)2(2)1(7)0xyz 32140xyz . 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương Để lập phương trình mặt phẳng ()P đi qua điểm 000;;Ixyz có cặp vectơ chỉ phương là ,uv→→ , ta có thể làm như sau: Bước 1. Tìm [,]nuv→→→ . Bước 2. Lập phương trình mặt phẳng ()P đi qua điểm 000;;Ixyz nhận n→ làm vectơ pháp tuyến. Ví dụ 7: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm (3;1;0)I có cặp vectơ chỉ phương là (2;1;1),(1;3;2)uv→→ . Giải Xét vectơ 111221 [,];; 322113nuv    →→→ , tức là (5;3;7)n→ . Khi đó, n→ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () . Vậy mặt phẳng () có phương trình là: 5(3)(3)(1)7(0)0 537180. xyz xyz  
4 3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng Để lập phương trình mặt phẳng ()P đi qua ba điểm 111222;;,;;HabcIabc , 333;;Kabc không thẳng hàng, ta có thể làm như sau: Bước 1. Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ()P là: 212121313131;;,;;.HIaabbccHKaabbcc→→ Buớc 2. Tìm [,]nHIHK→→→ . Buớc 3. Lập phương trình mặt phẳng ()P đi qua điểm 111;;Habc nhận n→ làm vectơ pháp tuyến. Ví dụ 8: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua ba điểm (1;0;2),(1;1;1)AB và (0;1;2)C . Giải Ta có: (0;1;1),(1;1;0)ABAC→→ . Xét vectơ 111001 [,];; 100111nABAC    →→ → , tức là (1;1;1)n→ . Khi đó, n→ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () . Vậy mặt phẳng () có phương trình là: 30. xyz Ví dụ 9: Cho ba điểm (;0;0),(0;;0),(0;0;)AaBbCc với 0abc . Viết phương trình mặt phẳng ()ABC . Giải Ta có: (;;0)0,(;0;)0ABabACac→→→→ . Xét vectơ 00 [,];;, 00 baab nABAC ccaa     →→ → tức là (;;)nbccaab→ . Do 0n→→ nên n→ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()ABC . Vậy mặt phẳng ()ABC có phương trình là: ()(0)(0)001.xyz bcxacayabzbcxcayabzabc abc