Title 4. PP UNG DUNG TP TIM TTVT- GV.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÌM THỂ TÍCH VẬT THỂ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1)Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S x( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( ) a x b . Giả sử S x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b . Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( ) b a V S x dx 2)Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x( ), y g x( ) và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:(trường hợp , nằm cùng phía so với trục hoành) 2 2 ( ) ( ) b a V f x g x dx B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1-Dạng 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y f x y = = ( ); 0 và x a x b = = , khi quay quanh trục Ox. Phương pháp: ( ) 2 =  d b a V f x x Ví dụ 1: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x x = −  4 ( 4) , trục tung và trục hoành (Hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox . y f x( ) y g x( ) ( ) : ( ) ( ) :  =  =  =   =C y f x Ox y 0 x a x b   2 ( ) b x a V f x dx =  a  y f x = ( ) yO b x
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Lời giải: Thể tích cần tính là: ( ) ( ) 1 1 2 0 0 2 0 4 4 d 8 d 4 2 V x x x 4 x x  x      =  − = − =   −  =   Ví dụ 2: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0 , x =1, y = 0 và y x = + 2 1 . Tính hể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức? Lời giải Ta có ( ) 1 2 0 V x x =  + 2 1 d  ( ) 1 0 =  + = 2 1 d 2 x x   . Ví dụ 3:Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2 y x y x = = = ; 0; 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H ) quanh trục Ox . Lời giải Vẽ phác họa hình thấy ngay miền cần tính 2 4 5 0 2 32 5 5 0 V x dx x   = = =   . Ví dụ 4:Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y x = và các đường thẳng y = 0 , x =1, x = 4 . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay quanh trục Ox . Lời giải Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay quanh trục Ox là 2 4 1 1 V xd x   =       4 1 1 x   =  −    1 1 4   =  − +     3 4  = .
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Ví dụ 5:Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường y x = −1 , trục hoành và đường thẳng x = 4 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm x − =1 0  =x 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành ( ) 4 2 1 V x x = − π 1 d  ( ) 4 1 = − + π 2 1 d x x x  4 2 1 4 π 2 3 x x x x   = − +     7π 6 = . Ví dụ 6:Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x = tan , trục hoành và các đường thẳng x = 0, π 4 x = . Quay (H ) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng Lời giải Thể tích của (H ) là : ( ) π π 4 4 π 2 2 4 2 0 0 0 1 π π tan d π 1 d π tan π cos 4 V x x x x x x   = = − = − = −       . Ví dụ 7:Goi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x y e = , trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x =1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox là Lời giải Thể tích khối tròn xoay ( ) 1 1 2 2 2 0 0 1 2 2 x x V e dx e e   = = = −   . Ví dụ 7: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị 2 y x x = − 2 và trục hoành. a)Tính diện tích hình (H ) b)Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (H ) quay quanh Ox . Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (H ) với trục hoành: 2 1 2 2 2 0 0  = − =    = x x x x . a) Diện tích hình (H ) là ( ) 2 2 2 2 0 0 4 2 2 3 S x x dx x x dx = − = − =   b)Thể tích khối tròn xoay sinh ra do (H ) quay quanh Ox là: ( ) 2 2 2 0 V x x x = −  2 .d  ( ) 2 2 3 4 0 = − +  4 4 .d x x x x  2 5 3 4 0 4 . 3 5   = − + =       x  x x 16 15  . 2-Dạng 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , và hai đường thẳng , quanh trục Ox:(trường hợp , nằm cùng phía so với trục hoành) Phương pháp: y f x( ) y g x( ) x a x b y f x( ) y g x( ) 2 2 ( ) ( ) b a V f x g x dx
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Ví dụ 1:Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y x = − 4 , y x = − 2 4 , x = 0 , x = 2 quanh trục Ox. Lời giải Ta có ( ) 2 2 2 1 0 256 π 4 d π 15 V x x = − =  , ( ) 2 2 2 0 32 π 2 4 d π 3 V x x = − =  . Vậy thể tích cần tìm 1 2 32π 5 V V V = − = . Ví dụ 2:Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H ) giới hạn bởi 2 y x = và y x = + 2 quanh trục Ox là Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm 2 1 2 2 x x x x  = − =+   = . Thể tích cần tìm là ( ) 2 2 4 1 72 2 d 5 V x x x   − = − + =      . Ví dụ 3: Cho hình (H ) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A(2;4) , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình (H ) quay quanh trục Ox bằng