Title 13. Các bài toán hình học.pdf ✅

Cho tam giác ABC nhọn  AB AC  , có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn O. Gọi D E F , , tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ A B C ,,. Tia AO cắt BC tại M, gọi PQ, tương ứng là hình chiếu của M trên các cạnh AC AB , . a) Chứng minh tam giác HFE đồng dạng với tam giác MPQ. b) Chứng minh 2 . . AB DB MB AC DC MC        c) Khi điểm A di động trên O, dây cung BC cố định sao cho tam giác ABC nhọn. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB AC , lần lượt tại hai điểm R N, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ARN cắt đường phân giác trong của BAC tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định. Bài 6. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nam Định năm học 2023-2024) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn O , kẻ hai tiếp tuyến MA MB , với đường tròn O , (với AB, là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB . Kẻ đường kính BD của đường tròn O . Đường thẳng MD cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là C . Tiếp tuyến tại C của đường tròn O cắt MA MB , lần lượt tại E F, . a) Chứng minh OCD OHD  và   2 ME MF EF MH MO    4 . . b) Gọi G là giao điểm của đường thẳng OE và AD . Chứng minh tứ giác OAGH là hình bình hành. c) Chứng minh các đường thẳng CD HG AF , , đồng quy. Bài 7. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Đăk Nông năm học 2023-2024) Cho đường tròn O , từ điểm M nằm ngoài đường tròn O , kẻ tiếp tuyến MA MB , ( AB, là tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với O ( MC MD  , tia MC nằm giữa tia MA và MO ). Gọi H là trung điểm của CD. a) Chứng minh 5 điểm M A H O B , , , , cùng thuộc một đường tròn. b) Qua C kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E . Chứng minh EH AD // . c) Gọi I là giao điểm của DE với MA . Chứng minh I là trung điểm của MA. Bài 8. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Đăk Nông năm học 2023-2024) Một nhà trẻ muốn thiết kế hai cầu trượt trong sân chơi. Đối với trẻ dưới 4 tuổi, cầu trượt cao BD 1,5m và nghiêng với mặt đất góc góc 30 . Đối với trẻ trên 4 tuổi cầu trượt cao BA  3m và nghiên với mặt đất một góc 60 (xem hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai chân (độ dài CE ) của hai máng trượt. Bài 9. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Đăk Nông năm học 2023-2024) 1,5 m α = 60° β = 60° C E D A B
1. Cho hình vuông ABCD có cạnh 2 . Đường tròn tâm O bán kính 1 tiếp xúc với BC tại trung điểm của BC. M là điểm di động trên (O) . Tìm giá trị lớn nhất của AM. 2. Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC  ) nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Tia AI cắt (O) tại điểm thứ hai là D. a) Chứng minh tam giác IDB cân và D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. b) Đường thẳng OD cắt (O) tại điểm E (khác D ) và cắt cạnh BC tại điểm F. Chứng minh ID.IE IF.DE.  c) Gọi x,y,z lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến các cạnh BC,CA,AB ; R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng x y z R r.     Bài 10. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2023-2024) Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC  ) nội tiếp đường tròn tâm O, có đường cao AD và trung tuyến AM . Kẻ đường kính AE, tia EM cắt AD tại H và cắt ( ) O tại F ( F E  ). a) Chứng minh M là trung điểm EH và 2 BC ME MF  4 . . b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác FBH. c) Chứng minh tứ giác AFDM nội tiếp và BFD MAC  . Bài 11. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà Giang năm học 2023-2024) Cho tam giác ABC không cân ( AB AC )  , nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi AD D BC   là đường cao của tam giác ABC, AM là đường kính của đường tròn tâm O,K là hình chiếu của B lên AM . a) Chứng minh ABDK là tứ giác nội tiếp và DK vuông góc với AC . b) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BD,CM . Chứng minh AEF   90 . Bài 12. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà Giang năm học 2023-2024) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp O ,AB AC.   Ba đường cao AD,BE,CF của ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại điểm P. Từ D kẻ đường thẳng song song với EF cắt đường thẳng AB tại điểm R, cắt đường thẳng AC tại điểm Q. a) Chứng minh tứ giác BQCR nội tiếp. b) Cho AP cắt O tại điểm thứ hai là K. Chứng minh tứ giác AEFK nội tiếp. c) Cho dây BC của O cố định. Chứng minh khi điểm A di chuyển trên cung lớn BC thì đường tròn ngoại tiếp PQR luôn đi qua một điểm cố định. Bài 13. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hòa Bình năm học 2023-2024)
Cho tam giác ABC đều nôi tiếp đường tròn O;R . trên cung BC không chứa điểm A lấy điểm D bất kỳ ( D khác B,C ). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ), kẻ BE vuông góc AD ( E thuộc AD ). Gọi K là giao điểm của AD và BC . a) Chứng minh rằng tứ giác ABHE nội tiếp và HE song song với DC . b) Chứng minh rằng DB DC DA   . c) Tìm vị trí của điểm D để biểu thức 15 3 1 1 2024 DA DK DB DC          đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 14. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hòa Bình năm học 2023-2024) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH ( H thuộc BC ). Biết diện tích hai tam giác ABH và ACH lần lượt là 2 9cm và 2 36 cm . Tính độ dài đường cao AH . Bài 15. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Khánh Hòa năm học 2023-2024) 1) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Các tia phân giác của EHB,DHC cắt AB AC , lần lượt tại I và K a) Chứng minh rằng AI AK  . b) Qua I và K lần lượt vẽ các đường vuông góc với AB và AC chúng cắt nhau tại M . Giả sử hai đỉnh BC, cố định, đỉnh A thay đổi. Chứng minh đường thẳng HM luôn đi qua một điểm cố định. 2) Cho tam giác ABC có hai đỉnh BC, cố định, đỉnh A thay đồi thỏa mãn hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức P B C   cot cot . Bài 16. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Kiên Giang năm học 2023-2024) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 . Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC ( M khác BC, ), N là điểm trên cạnh CD sao cho MAN   45 , đường thẳng BD cắt AM AN , lần lượt tại K và H , gọi O là giao điểm của MH và KN . a) Chứng minh rằng tứ giác ABMH nội tiếp. b) Chứng minh rằng OH OM OK ON . .  . c) Đặt BM x DN y   , . Tính diện tích S của tam giác AMN theo x y, và tìm giá trị nhỏ nhất của S . Bài 17. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Kiên Giang năm học 2023-2024) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB và điểm C nằm trên nửa đường tròn sao cho CA CB  . Gọi M là trung điểm của dây cung AC . Tia BM cắt nửa đường tròn tại điểm thức hai là E D, là giao điểm của hai đường thẳng AE và BC . a) Chứng minh rằng tứ giác MOCD là hình bình hành. b) Kẻ EF vuông góc với AC tại F . Tính tỉ số MF EF . Bài 18. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Kiên Giang năm học 2023-2024) Người ta đào một con kênh với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy nhỏ bằng a và góc nhọn của nó là 60 (hình vẽ). Theo tính toán để lưu lượng nước thoát qua con kênh này lớn nhất người ta thiết kế con kênh có diện tích mặt cắt (hình thang cân) là 3 3 2 4 a . Khi a m  2 , hãy tính bề ngang con kênh (đáy lớn của hình thang cân) theo thiết kế.