Title Chương 5_Bài 3_ _Đề bài_Toán 12_CTST.pdf ✅

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phương trình mặt cầu trong không gian Khái niệm mặt cầu Trong không gian, cho điểm I và số dương R . Mặt cầu tâm I , bán kính R , kí hiệu S I R ( , ) , là tập hợp các điểm M trong không gian thoả mãn IM R = . Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I gọi là đường kính của mặt cầu. Chú ý: Cho mặt cầu S I R ( ; ) . - Nếu IM R = thì M nằm trên mặt cầu. - Nếu IM R  thì M nằm trong mặt cầu. - Nếu IM R  thì M nằm ngoài mặt cầu. Phương trình của mặt cầu Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( ) S tâm I a b c ( ; ; ) , bán kính R có phương trình là: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x a y b z c R − + − + − = Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu ( ) S : a) Có tâm I(1;2;3) , bán kính R = 5 ; b) Có đường kính AB với A(1;3;7) và B(3;5;1) ; c) Có tâm A(1;0; 2) − và đi qua điểm B(2;4;1) . Lời giải a) Mặt cầu ( ) S có phương trình: 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) 25 x y z − + − + − = . b) Mặt cầu ( ) S có đường kính AB nên có tâm J (2;4;4) là trung điểm của $A B$ và bán kính R JA = = 11 . Vậy ( ) S có phương trình: 2 2 2 ( 2) ( 4) ( 4) 11 x y z − + − + − = . c) Mặt cầu ( ) S có tâm A(1;0; 2) − và đi qua điểm B(2;4;1) nên có bán kính R AB = = 26 . Vậy ( ) S có phương trình: 2 2 2 ( 1) ( 2) 26 x y z − + + + = .
Ví dụ 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: a) 2 2 2 ( ) : ( 3) ( 7) ( 1) 81 S x y z − + − + + = ; b) ( ) 2 2 2 S x y z  : ( 2) ( 5) 13 + + + − = ; c) ( ) 2 2 2 S x y z  : 4 + + = . Lời giải a) Mặt cầu ( ) S có tâm I(3;7; 1) − và bán kính R = = 81 9 . b) Mặt cầu (S) có tâm J ( 2;0;5) − và bán kính R = 13 . c) Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = = 4 2 . Nhận xét: Phương trình 2 2 2 x y z ax by cz d + + − − − + = 2 2 2 0 với 2 2 2 a b c d + + −  0 là phương trình của mặt cầu tâm I a b c ( ; ; ) , bán kính 2 2 2 R a b c d = + + − . Ví dụ 3. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) 2 2 2 x y z x y z + + + − + − = 8 6 2 10 0 ; b) 2 2 2 x y z x y z + + + + − + = 6 33 0 . Lời giải a) Phương trình 2 2 2 x y z x y z + + + − + − = 8 6 2 10 0 có dạng 2 2 2 x y z ax by cz d + + − − − + = 2 2 2 0 với a b c d = − = = − = − 4; 3; 1; 10 . Ta có 2 2 2 a b c d + + − = + + + =  16 9 1 10 36 0 . Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I( 4;3; 1) − − , bán kính R = 6 . b) Phương trình 2 2 2 x y z x y z + + + + − + = 6 33 0 có dạng 2 2 2 x y z ax by cz d + + − − − + = 2 2 2 0 với 1 1 ; ; 3; 33 2 2 a b c d = − = − = = . Ta có 2 2 2 1 1 47 9 33 0 4 4 2 a b c d + + − = + + − = −  . Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu. 2. Vận dụng của phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu trong không gian có nhiều ứng dụng trong thiết kế, định vị, sản xuất,... Ví dụ 4. Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M . Cho biết M đang nằm trên mặt sân có phương trình z = 0 , đồng thời thuộc mặt cầu
2 2 2 ( ) : ( 32) ( 50) ( 10) 109 S x y z − + − + − = (đơn vị độ dài tính theo mét). a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( ) S . b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc J của tâm I trên mặt sân. c) Tính khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J . Lời giải a) Mặt cầu ( ) S có phương trình 2 2 2 ( 32) ( 50) ( 10) 109 x y z − + − + − = nên có tâm I(32;50;10) và bán kính R = 109 . b) Trong không gian Oxyz , mặt sân có phương trình z = 0 trùng với mặt phẳng toạ độ ( ) Oxy , suy ra hình chỉếu vuông góc của điểm I(32;50;10) xuống mặt sân có toạ độ J (32;50;0). c) Trong tam giác vuông IJM , ta có IJ IM = = 10, R , suy ra 2 2 JM IM IJ = − = − = 109 100 3. Vậy khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J là 3 m . Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục tọa độ là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm I( 6; 1;4) − − . a) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 2 km . Viết phương trình mặt cầu ( ) S biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng. b) Một người sử dụng điện thoại tại điểm M ( 5; 2;5) − − . Hãy cho biết điểm M nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu ( ) S và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên hay không. c) Câu hỏi tương tự đối với người sử dụng điện thoại ở điểm N( 1;0;1) − . Lời giải