Title Chuyên đề 9. Các dạng toán về phân số.pdf ✅

Trang 1/42 CĐ9: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ Dạng 1: Tìm phân số thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 2: Chứng minh phân số đã cho là tối giản Dạng 3: Tìm điều kiện để phân số là phân số tối giản Dạng 4: Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được Dạng 5: Một số bài toán có lời văn Dạng 6: Các bài toán về so sánh Dạng 1. Tìm phân số thỏa mãn điều kiện cho trước A. Trắc nghiệm (nếu có) Câu 1. (HSG 7 huyện Tân An 2017 - 2018) Giá trị của x trong biểu thức 2 x 1 0,25 là: A. 9 1 ; 4 4 B. 1 9 ; 4 4 C. 9 1 ; 4 4 D. 9 1 ; 4 4 Lời giải Chọn A 2 x 1 0,25 1 1 2 1 1 2 x x 3 2 1 2 x x 9 4 1 4 x x Vậy 9 1 ; 4 4 x . B. Tự luận Câu 1. (HSG 7 huyện Hậu Lộc 2022 - 2023) Tính giá trị biểu thức 3 3 3 abc Q abc với a b c , , thỏa mãn: 2 3 2 4 3 0 a b b c . Lời giải 3 3 3 abc Q abc với a b c , , thỏa mãn: 2 3 2 4 3 0 a b b c . Vì 2 3 2 0; a b 4 3 0 b c với a b, nên để 2 3 2 4 3 0 a b b c thì: 2 3 2 0 4 3 0 a b b c 3 2 4 3 a b b c 2 3 4 a b c . Đặt 2 3 4 a b c k a k2 ; b k3 ; c k4 . Thay vào Q ta có:
Trang 2/42 3 3 3 abc Q abc 3 3 3 234 2 .3 .4 k k k k k k 3 3 3 3 3 234 24 k k 33 8 . Vậy 33 8 Q . Câu 2. (HSG 7 Thị xã Thái Hòa 2022 - 2023) Cho 2 5 8 2 3 a b c b c a c a b b c a và abc , , khác 0 . Tính 1 1 1 a b c P b c a Lời giải Từ 2 5 8 2 3 a b c b c a c a b b c a và abc , , khác 0 . 2 5 8 3 3 3 2 3 a b c b c a c a b b c a 2 3 a b c b c a c a b b c a TH1: Nếu abc 0 b c a a b c c a b Thay vào P ta có P 1 TH 2: Nếu abc 0 b c a 2 3 1 2 3 ; ; 3 1 2 a b c b c a Thay vào P ta có P 10 Câu 3. (HSG 7 huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh 2022 - 2023) Cho các số nguyên dương abc , , thỏa mãn abc 2023 . Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phải là một số nguyên: 2023 2023 2023 a b c A c a b Lời giải Theo bài ra ta có 2023 2023 2023 2023 c a b a b c a b c b a c 2023 2023 2023 a b c a b c A c a b a b b c a c Vì abc , , là các số nguyên dương nên 1 a b c a b c a b c a b b c a c a b c b c a a c b a b c Ta lại có ; ; 1 a b c a b b c a c nên 2. 2 a b c a c b a c b abc a b b c a c a b c b c a a c b a b c
Trang 3/42 Vì 1 2 A nên A không phải là một số nguyên. Câu 4. (HSG 7 tỉnh Quảng Ninh 2022 - 2023) Cho abc , , là các số thoả mãn : a b c b c c a a b . Tính tổng : a b b c c a S c a b . Lời giải Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1 2( ) 2 a b c a b c b c c a a b a b c 1 ) 2 2 a b c a b c 1 ) 2 2 b c a b c a 1 ) 2 2 c a b c a b Suy ra : 2 2 2 2 2 2 6 a b b c c a c a b S c a b c a b Câu 5. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Duyên Hải 2022 - 2023) Tìm ba phân số tối giản. Biết tổng của chúng bằng 269 30 . Tử số của chúng tỉ lệ thuận với 5 ; 7 ; 11 . Mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với 1 4 ; 1 5 ; 1 6 . Lời giải Gọi ba phân số tối giản cần tìm là: a b ; c d ; e f ( Điều kiện a b, 1 ; c d, 1 ; e f , 1 ). Vì tử số của chúng tỉ lệ thuận với 5 ; 7 ; 11 nên 5 7 11 a c e k a k c k e k 5 ; 7 ; 11 Vì mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với 1 4 ; 1 5 ; 1 6 nên 1 1 1 4 5 6 b d f 4 5 6 b d f q b q4 ; d q5 ; f q6 Do tổng của ba phân số bằng 269 30 nên 269 30 a c e b d f 5 7 11 269 4 5 6 30 k k k q q q 269 269 . 60 30 k q 2 k q
Trang 4/42 5 5 5 .2 4 4 2 7 7 14 .2 5 5 5 11 11 11 .2 6 6 3 a k b q c k d q e k f q Vậy ba phân số cần tìm là 5 2 ; 14 5 ; 11 3 . Câu 6. (HSG 7 huyện 2017 - 2018) Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9 10 và nhỏ hơn 9 11 Lời giải Gọi mẫu phân số cần tìm là x ta có: 9 7 9 10 11 x 63 63 63 70 9 77 x 77 9 70 x vì 9 9 x 9 72 x x 8 Vậy phân số cần tìm là 7 8 . Câu 7. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Bùi Hữu Diên 2022 - 2023) Tìm ba phân số tối giản biết tổng của chúng là 9 4 40 ; các tử của chúng tỉ lệ với 2 ; 3 ; 5 còn các mẫu của chúng tương ứng tỉ lệ với 5 ; 4 ; 3 . Lời giải Gọi ba phân số tối giản cần tìm là ' a a ; ' b b ; ' c c ( Điều kiện a a, ' 1 ; b b, ' 1 ; c c, ' 1 ) Theo đề bài ta có: 9 4 ' ' ' 40 1 2 3 5 ' ' ' 2 5 4 3 abc abc abc abc Từ 1 và 2 ta có: ' ' ' : : : 2 5 3 4 5 3 a a b b c c 5 4 3 . . . ' 2 ' 3 ' 5 abc abc ' ' ' 2 3 5 5 4 3 abc abc Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: