Title 3. PP Tích của một vecto với một số-GV.docx ✅

BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ I – LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho vectơ a→ và số k  R. ka→ là một vectơ được xác định như sau: + ka→ cùng hướng với a→ nếu k  0, + ka→ ngược hướng với a→ nếu k0 . + kaka.→→ . 2. Tính chất kabkakb→→→→ ; klakala()→→→ ; klakla()→→ ka0→→  k = 0 hoặc a0→→ . 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương avaøbacuøngphöôngkRbka0:→→→→→→ 4. Điều kiện ba điểm thẳng hàng A, B, C thẳng hàng  k  0: ABkAC→→ . 5. Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ không cùng phương ab,→→ và x→ tuỳ ý. Khi đó ! m, n  R: xmanb→→→ . 6. Chú ý  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M là trung điểm AB  MAMB0→→→  OAOBOM2→→→ (O tuỳ ý).  Hệ thức trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC  GAGBGC0→→→→  OAOBOCOG3→→→→ (O tuỳ ý). II – DẠNG TOÁN 1. Dạng 1: 1: Xác định vectơ ka→ Phương pháp: -Dùng định nghĩa phép nhân vectơ với một số BÀI TẬP TỰ LUẬN: Ví dụ 1: Cho ba điểm M,N,P như hình vẽ Tìm các số k,l,m biết a)MNkMP→→ b)PNlMP→→ c)NMmNP→→ Lời giải a) Ta có MN,MP→→ là hai vectơ ngược hướng và 1 MNMP 2 nên 11 MNMPk. 22→→ b) Ta có PN,MP→→ là hai vectơ ngược hướng và 3 PNMP 2 nên 33 PNMPl. 22→→ c) Ta có NM,NP→→ là hai vectơ cùng hướng và 1 NMNP 3 nên 11 NMNPm 33→→
Ví dụ 2: Cho aAB→→ và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho: OM3a;ON4a→→→→ Lời giải Vẽ d đi qua O và // với giá của a→ (nếu O  giá của a→ thì d là giá của a→ )  Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a→ |, OM→ và a→ cùng hướng khi đó OM3a→→ .  Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a→ |, ON→ và a→ ngược hướng nên ON4a→→ Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= 1 5 AB. Tìm k trong các đẳng thức sau: a)AMkAB;b)MAkMB;c)MAkAB→→→→→→ Lời giải A B M a) |AM|AM1 AMkAB|k| AB5|AB| → →→ → , vì AMAB→→  k= 1 5 b) k=  1 4 c) k=  1 5 Ví dụ 4: a) Chứng minh:vectơ đối của 5a→ là 5a→ b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a3b→→ , a2b→→ Lời giải a) 5a15a1.5a5a→→→→ b) 2a3b12a3b12a13b2a3b2a3b→→→→→→→→→→ Ví dụ 5: Cho đoạn thẳng cmAB6 a) Xác định điểm C thỏa mãn 1 ACAB 2→→ b) Xác định điểm D thỏa mãn 1 ADAB 2→→ Lời giải a) Vì 1 ACAB 2→→ nên AC,AB→→ cùng hướng và 11 ACABACAB 22→→ nên A,B,C thẳng hàng và C là trung điểm của AB
N M A B C D b) Vì 1 ADAB 2→→ nên AD,AB→→ ngược hướng và 11 ADABADAB 22→→ nên A,B,D thẳng hàng và A nằm giữa D và B (hình vẽ) Ví dụ 6: Một vật chuyển động thẳng đều từ A đến B với tốc độ 9m/s và vật thứ hai chuyển động thẳng từ B về A với vận tốc 6m/s . Gọi 12v,v→→ lần lượt là các vec ơ vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai. Có hay không số thực k thỏa mãn 12vkv→→ . Lời giải Hai vận tốc chuyển động ngược hướng và tỉ số tóc độ của vận tốc thứ nhất và thứ hai là 3/2 nên 12 33 vvk. 22→→ 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số Phương pháp: -Dùng quy tắc 3 điểm, quy tắc đường chéo hình bình hành, cặp vectơ bằng nhau trong hình bình hành -Dùng tính chất trung điểm, trọng tâm – ba điểm thẳng hàng BÀI TẬP TỰ LUẬN: Ví dụ 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD . Chứng minh: 2MNACBD→→→ Hướng dẫn giải: VPACBDAMMNNCBMMNND 2MNAMBMNDNC 2MN    →→→→→→→→ →→→→→ → Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Gọi , MN tương ứng là trung điểm của các cạnh , ABCD . Gọi I là trung điểm của MN .Chứng minh rằng a) 2BCADMNACBD→→→→→ . b) 4,OAOBOCODOIO→→→→→ Lời giải a) Ta có: 2 2002 BCADBMMNNCAMMNNDMNBMAMNCND MNMN   →→→→→→→→→→→→→ →→→→ 0BCADBAACABBDBAABACBDACBDACBD→→→→→→→→→→→→→→→ Vậy 2BCADMNACBD→→→→→ b) Vì , MN tương ứng là trung điểm của các cạnh , ABCD nên ta có
2;2IAIBIMICIDIN→→→→→→ I là trung điểm của MN nên 0IMIN→→→ Do đó 2()2.00IAIBICIDIMIN→→→→→→→→ Với mọi điểm O ta có 00. 4. IAIBICIDOAOIOBOIOCOIIDOI OAOBOCIDOI   →→→→→→→→→→→→→→ →→→→→ Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB2ACAD3AC→→→→ . Lời giải Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có ABADAC→→→  VT= AC2AC3ACVP→→→→ (đpcm) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh rằng a) 0→→→→ AMBNCP . b) 1 2APBCAN→→→ c) 2BCMPBA→→→ Lời giải a) Ta có 111 222→→→→→→→→→ AMBNCPABACBABCCACB 1110 222→→→→→→→ ABBAACCABCCB . b) Ta có 11 ; 22APABANAC→→→→ . Do đó 1111 () 2222 1 . 2 APBCABBCABBC ACAN   →→→→→→ →→ Vậy 1 2APBCAN→→→ c) Ta có 1 2. 2MPCAMPCA→→→→ Do đó 2.BCMPBCCABA→→→→→ Vậy 2BCMPBA→→→ Ví dụ 5: ( 1 điểm) Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng: