Title Đề Thi Chọn Đội Tuyển TP Hồ Chí Minh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2019-2020 [Đáp Án].pdf ✅

SỞ GIÁO DUC V ̣ À ĐÀO TAO ̣ KỲ THI CHON Đ ̣ ÔI TUY ̣ Ể N HOC SINH GI ̣ ỎI THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍMINH NĂM HOC 201 ̣ 9 - 2020 MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 18/9/2019 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (5 điểm) a) Cho dãy số n u xác định bởi: 1 1 2 1 1 ; 1 3 1 n n n u u u u với n 1, 2, 3,... Chứng minh dãy số n u có giới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn đó. b) Cho các số dương abcd ,,, thỏa mãn 222 2 abcd 1. Chứng minh rằng 2 4(1 )(1 ) ( ) . a b cd Bài 2. (5 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : liên tục tại 0 thoả mãn: f x f x xx (2018 ) (2019 ) 2020 , . Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn O , có trực tâm H và AB AC. Lấy điểm T A trên đường tròn O sao cho AT song song với BC. Giả sử AH cắt BC tại K và TH cắt O tại điểm D thuộc cung nhỏ BC. Gọi L là trung điê ̉ m của HT. a) Chứng minh các điểm ALOK D ,,, , cùng nằm trên mo ̣t đường tròn. b) Gọi P là giao điểm thứ hai của AO với O . Đường thẳng đi qua H và song song với BC cắt đường thẳng PD tại X. Chứng minhXA là tiếp tuyến của đường tròn O . Bài 4. (5 điểm) Cho đa thức hệ số thực P x( ) có bậc 2019 và hệ số bậc cao nhất bằng 1. Biết rằng P x( ) có đúng 2019 nghiệm thực phân biệt không phải là số nguyên. Giả sử mỗi đa thức 2 Px x (2 4 ) và 2 Px x (4 2 ) đều có đúng 2692 nghiệm thực phân biệt. a) Hỏi có bao nhiêu nghiệm của P x( ) thuộc khoảng ( 2;2)? b) Chứng minh rằng tồn tại 3 đa thức cùng bậc Ax Bx C x ( ), ( ), ( ) có hệ số thực sao cho Ax BxC x P x x ( ) ( ) ( ) ( ), và Bx AxC x x ( ) ( ) ( ), ( 1;1). --- HẾT --- ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DUC V ̣ À ĐÀO TAO ̣ KỲ THI CHON Đ ̣ ÔI TUY ̣ Ể N HOC SINH GI ̣ ỎI THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍMINH NĂM HOC 201 ̣ 9 - 2020 MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ hai: 19/9/2019 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 5. (5 điểm) a) Cho đa thức hai biê ́ n Pxy (, ) với hê ̣ sô ́thự c. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức một biến Sx Tx ( ), ( ) với hệ số thực sao cho 2 2 Pxy Sx y Tx x y ( , ) ( ). ( ) (mod 1). b) Tô ̀ n tại hay không một đa thức hai biê ́ n Pxy (, ) với hê ̣ sô ́thự c sao cho 2 P xy (, ) 1 chia hê ́ t cho 2 2 x y 1? Bài 6. (5 điểm) Với n 2, hoán vị 1 2 ,,, n aa a của (1,2, , ) n được gọi là “chuẩn” nếu 1 1 i i a a với i n 1,2, , 1. Tìm số các hoán vị “chuẩn” của (1,2, , ). n Bài 7. (5 điểm) Chô hai đường tròn ( ),( ) O O cố định, cắt nhau tại hai điểm B C, sao cho O O, nằm cùng một phía đối với đường thẳng BC (điểm O gần BC hơn). Điểm A thay đổi trên ( ) O sao cho tam giác ABC nhọn không cân và các đôạn thẳng AB AC , cắt ( ) O lần lượt tại F E, . BE cắt CF tại I, AI cắt BC tại D, IB cắt DF tại M và IC cắt DE tại N. a) Tia O I cắt đường tròn ( ) O tại R . Chứng minh rằng AR MN BC , , đồng quy. b) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên ( ) O thì đường phân giác trông và đường cao qua đỉnh I của tam giác IMN lần lượt đi qua các điểm cố định. Bài 8. (5 điểm) Số nguyên dương n được gọi là số “đẹp” nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) n là số chính phương không chia hết cho 3. ii) Với mỗi ước m 15 của n thì 15 k m p với k p, nguyên tố. a) Chứng minh rằng nếu n là số “đẹp” và n có ước nguyên tố lẻ p thì p 7. b) Tìm tất cả các số “đẹp” (Chú ý rằng thêô điều kiện trên thì n 1 là số “đẹp”). --- HẾT --- ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DUC V ̣ À ĐÀO TAO ̣ KỲ THI CHON Đ ̣ ÔI TUY ̣ Ể N HOC SINH GI ̣ ỎI THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍMINH NĂM HOC 201 ̣ 9 - 2020 MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 18/9/2019 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (5 điểm) b) Cho dãy số n u xác định bởi: 1 1 2 1 1 ; 1 3 1 n n n u u u u với n 1, 2, 3,... Chứng minh dãy số n u có giới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn đó. Giải. Gọi ( ) : 1 0. n Pn u Ta sẽ chứng minh P n( ) đúng với n 1, 2, 3,... Ta có P(1) đúng. Giả sử P k( ) đúng ( 1) k , tức là 1 0. k u Khi đó 1 2 1 0 1 0 1 1, 1 k k k u u u tức là P k( 1) đúng. Theo nguyên lý quy nạp ta có P n( ) đúng với n 1, 2, 3,... 1 điểm Do * 1 0, n u n nên * 1 2 1 1 11 , . 1 n n nn n u u u un u 1 điểm Cách 1. Dãy số n u giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn. Gọi lim n u L thì 1 1 . 3 L Ta có 2 1 1 1. 1 L L L L 1 điểm Cách 2. Ta có 1 1 1 3 n u u 2 * 10 1; . 3 n u n 1 2 1 3 1 11 1 10 n nn n u uu u với mọi * n . 2 1 12 1 33 3 01 1 1 1 10 10 10 n nn n uu u u , n 1 Mà 1 1 3 lim 1 0 lim 1 0. 10 n n u u Suy ra lim 1. n u 1 điểm ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC