Title Chuyên đề 9. Toán cổ - toán nâng cao.docx ✅

2 Số người đang học nhạc: 4 x . Số người đang suy nghĩ: 7 x . Theo giả thiết ta có phương trình: 3 3328 24728 xxx xxx . Vậy lớp học của Py-ta-go là 28 . Câu 4: Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui. Chia ba mỗi quả quýt rồi Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh. Trăm người, trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao? Lời giải Giả sử cả 17 quả đều là cam. Khi đó ta chia được: 17.10170 và hơn số miếng đầu Câu cho là: 17010070 . Mỗi quả cam bổ ra hơn số quả quýt bổ ra là: 1037 . Suy ra số quả quýt là: 70:710 . Số quả cam là: 17107 Cách khác: Gọi x , y lần lượt là số quả quýt và số quả cam. Điều kiện: 0,17,,xyxyℕℕ . Theo đề Câu ta có hệ phương trình: 17 310100 xy xy     . Giải hệ phương trình, ta được: 10 7 x y     . Vậy, có 10 quả quýt và 7 quả cam. Câu 5: Câu toán Ấn Độ Một đàn khỉ chia thành hai nhóm. Nhóm chơi đùa vui vẻ ngoài trời Bằng bình phương một phần tám của đàn. Mười hai con nhảy nhót trên cây. Không khí tươi vui sưởi ấm nơi này. Hỏi có tất cả bao nhiêu con khỉ? Lời giải Gọi số khỉ của đàn là x . Điều kiện: *,8xxℕ⋮ . Nhóm khỉ chơi đùa ngoài trời có: 2 8 x   . Theo đề Câu ta có phương trình: 2 2 12647680. 8 x xxx    Giải phương trình ta được: 48x hay 16x Vậy số khi trong cả đàn là 48 con hoặc 16 con. Câu 6: Câu toán của Ơ-le Hai nông dân đem 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được một tiền bằng nhau. Mộ người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được 2 6 3 đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng?
3 Lời giải Gọi số trứng của người thứ nhất là x . Điều kiện: *,100xxℕ . Suy ra số trứng của người thứ hai là 100x . Giá tiền một quả trứng của người thứ nhất là 15 100x . Giá tiền một quả trứng của người thứ hai là 20 3x . Số tiền thu được của người thứ nhất là 15 100 x x . Số tiền thu được của người thứ hai là 20100 3 x x  . Do đó ta có phương trình: 2010015 1003 xx xx    . Giải phương trình ta được 200x hay 40x . Vậy số trứng của người thứ nhất là 40 quả và số trứng của người thứ hai là 60 quả. Câu 7: Một bà nông dân mang hai giỏ trứng ra chợ bán, mỗi giỏ có 30 trứng. Trong giỏ trứng bé, bà dự định sẽ bán với giá 1 đồng được 3 quả. Giỏ trứng to bà sẽ bán 1 đồng 2 quả. Tuy nhiên khi ở chợ bà thay đổi ý định, bà để trứng lẫn lộn và bán với giá 2 đồng được 5 quả. Như thế có lợi cho bà so với ý định ban đầu không? Lời giải Dự định : + Giỏ trứng bé bà sẽ bán được: 30:310 . + Giỏ trứng to bà sẽ bán được: 30:210 . Thực tế: + Số tiền một quả trứng là: 2:50,4 . + Số tiền bà thu về là: 3030.0,424 . Vậy không có lợ cho bà so với ý định ban đầu. Câu 8: Hai người bạn trung niên gặp nhau. Một người hỏi bạn mình: “Các con của anh bao nhiêu tuổi?” Người thứ hai trả lời: “Tôi có hai đứa con trai: tuổi tôi gấp 4 lần tuổi đứa con thứ nhất và gấp 7 lần đứa thứ hai”. Hỏi ông bố bao nhiêu tuổi và các con của ông bao nhiêu tuổi? Lời giải Gọi số tuổi của người bố là x . Điều kiện: *xℕ . Tuổi người bố gấp 4 lần tuổi người con thứ nhất và gấp 7 lần tuổi của người con thứ hai nên: 4,74;7xxxBC⋮⋮ . Ta có 4;7284;780;28;56;84;...BCNNBCB . Vì ông bố là người trung niên nên có độ tuổi từ 45 đến 65 tuổi. Vậy ông bố 56 tuổi và tuổi các con lần lượt là 8 tuổi và 14 tuổi. Câu 9: Cô Lan có 4 con gà mái. Cô nhận thấy rằng 1 con gà cách 1 ngày đẻ 1 trứng, con thứ 2 cách 3 ngày đẻ 1 trứng, con thứ 3 cách 4 ngày đẻ 1 trứng, và con thứ 4 cách 7 ngày để 1 trứng. Một lần cô Lan lấy trong chuồng được 4 quả trứng và khoe với bà hàng xóm. Bà ta chúc mừng cô và hỏi: Số ngày ngắn nhất là mấy ngày để cô có thể lấy được 4 trứng nữa? Bạn hãy giúp cô Lan. Biết rằng ngày nào cô Lan cũng ra nhặt trứng trong chuồng. Lời giải Gọi số ngày ngắn nhất cần tìm là x . Điều kiện: *xℕ . Theo yêu cầu Câu toán ta có: 2,4,5,8xxxx⋮⋮⋮⋮ và x nhỏ nhất nên 2,4,5,840xBCNN . Vậy sau 40 ngày thì cô Lan có thể lấy được 4 trứng cùng lúc một lần nữa. Câu 10: Một cô gái mang ra chợ hai giỏ trứng. Bất chợt một chú bé xô vào người, hai giỏ trứng rơi, trứng vỡ. Chú bé xin lỗi cô và hỏi cô có tất cả bao nhiêu trứng để chủ đền tiền, cô gái trả lời: "Chị không đếm nhưng khi xếp vào giỏ theo 2 quả một lần, 3 quả một lần, 4 quả một lần, 5 quả
4 một lần, 6 quả một lần thì lần nào cũng dư ra 6 quả. Còn khi xếp theo 7 quả thì không dư quả nào. Hỏi trong hai giỏ có bao nhiêu quả trứng biết rằng số trứng nằm trong khoảng 300 đến 400 ? Lời giải Gọi số trứng trong hai giỏ là x . Điều kiện: *xℕ , 300400x . Khi xếp vào giỏ 2 quả một lần, 3 quả một lần, 4 quả một lần, 5 quả một lần, 6 quả một lần thì lần nào cũng dư ra 6 nên ta có:  12 13 1413;4;5;6 15 16 x x xxBC x x            ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Ta có 3;4;5;6603;4;5;660BCNNBCB . 600;60;120;180;240;300;360;420;...B . 1;61;121;181;241;301;361;421;...x . Mà 7x⋮ và 300400x nên chọn 301x . Vậy số trứng trong hai giỏ có là 301 . II. TOÁN NÂNG CAO Câu 1: Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5kg . Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5kg có khối lượng trung bình là 1,73kg , các trái dưa lưới nhẹ hơn 1,5kg có khối lượng trung bình là 1,33kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5kg . a) Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng b) Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5kg ? Lời giải a) Gọi ,,xyz lần lượt là số quả dưa nặng hơn 1,5kg ; bằng 1,5kg và nhẹ hơn 1,5kg . Khi đó ta có 1,731,51,331,5.1001501xyz b) Theo cách gọi ở câu a, ta có: 1001,51,51,51502xyzxyz Từ và 17 0,230,170 23xzxz Vì 17,231UCLN nên đặt 23*17zkkxkℕ Từ đó suy ra 10010040yxzk . Mà 60 01004002,51;2 20 y ykkk y      Vậy có ít nhất 20 trái dưa lưới nặng đúng 1,5kg. Câu 2: Có 10 bạn học sinh tham gia thi đấu bóng bàn. Hai bạn bất kì đều phải đấu với nhau một trận, bạn nào cũng gặp 9 đối thủ của mình và không có trận nào hòa. Chứng minh rằng luôn xếp được 10 bạn thành một hàng dọc sao cho bạn đứng trước thắng bạn đứng kề sau. Lời giải Vì số cách xếp là hữu hạn, nên khi ta xếp các bạn học sinh thành 1 hàng, luôn tồn tại cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề Câu và có nhiều nhất m học sinh. Ta sẽ đi chứng minh 10m . Thật vậy, giả sử 10m . Tức là tồn tại 1 học sinh X không thể xếp vào hàng. Ta xét các trường hợp sau: - Nếu X thắng m bạn trong hàng. Khi này, ta xếp X ở đầu hàng, sẽ thỏa mãn điều kiện đề Câu.