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UNIVERSITÉ IBN ZOHR FACULTE DES SCIENCES AGADIR Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 http://saborpcmath.com/ SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE : CHIMIE : MATH : INFORMATIQUE : TDs-ELECTRICITE-2 PAR WHATSAPP :06-26-45-09-23 S3 SMP 3 FSA-AGADIR 2020-2021
Pr. M.BGHOUR & A.SDAQ 1/4 Eléments d’analyse vectorielle Filières SMP-SMC-SMI & SMA L’étude de l’électromagnétisme fait usage d’un certain nombre d’outils d’analyse vectorielle. L’objectif de ce recueil est de rappeler sans démonstration ces outils, quelques relations utiles et leurs expressions. 1. Fonction scalaire. Fonction vectorielle Soit un trièdre direct (i j k , , ) r r r . M un point de l’espace de coordonnées (x, y, z) on a : OM xi y j zk = + + uuuur r r r On peut définir des fonctions scalaires et des fonctions vectorielles du point M telles que : V M V x y z ( ) = ( , , ) et A A i A j A k = + + x y z ur r r r 2. Opérateurs vectoriels 2.1. Gradient L’opérateur gradient noté ‘’ grad uuuur ’’ (ou encore opérateur nabla ∇ ur ) associe à une fonction scalaire V x y z ( , , ) un vecteur de composantes , , V V V x y z   ∂ ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ : ( ) ( ) , , , , V V V grad V x y z V x y z i j k x y z ∂ ∂ ∂ = ∇ = + + ∂ ∂ ∂ uuuuur ur r r r La différentielle totale de f x y z ( , , ) s’écrit : d , , d d d ( ) V V V V x y z x y z x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ou bien d dOM V grad V = ⋅ ( ) uuuuur uuuur Expression du gradient dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , V i x y z x V grad V x y z V x y z j y V x y z k z   ∂   ∂     ∂ = ∇ =   ∂     ∂     ∂ r uuuuur ur r r Coordonnées cylindriques 1 V e V grad V e V k z ρ θ   ∂   ∂ρ     ∂ =   ρ ∂θ     ∂     ∂ uur uuuuur uur r Coordonnées sphériques 1 1 sin r V e r V grad V e r V e r θ φ   ∂   ∂     ∂ =   ∂θ     ∂     θ ∂φ uur uuuuur uur uur
Pr. M.BGHOUR & A.SDAQ 2/4 2.2. Divergence L’opérateur divergence noté ‘’div’’ (ou encore ∇ ⋅ ur ) associe à un vecteur A A i A j A k = + + x y z ur r r r le produit scalaire de l’opérateur ∇ ur par ce vecteur : div A A = ∇ ⋅ ur ur ur (le résultat est un scalaire) Expression de la divergence dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes x y z A A A div A A x y z ∂ ∂ ∂ = ∇⋅ = + + ∂ ∂ ∂ ur ur ur Coordonnées cylindriques ( ) 1 A Az div A A z θ ρ   ∂ ∂ ∂ = ρ + +   ρ ∂ρ ∂θ ∂   ur Coordonnées sphériques ( ) ( ) 2 2 1 1 1 sin sin sin r A div A r A A r r r r φ θ ∂ ∂ ∂ = + θ + ∂ θ ∂θ θ ∂φ ur 2.3. Rotationnel L’opérateur rotationnel noté rot uur (ou encore ∇ ∧ ur ) associe à un vecteur le produit vectoriel de l’opérateur ∇ ur par ce vecteur : rot A A = ∇ ∧ uur ur ur ur (le résultat est un vecteur) Expression du rotationnel dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes rot y z x x z y z y x A A i y z x A A A A A j y z x A A A k z x y   ∂ ∂   ∂   −   ∂ ∂ ∂         ∂     ∂ ∂ = ∧ = −       ∂ ∂ ∂         ∂     ∂ ∂     −   ∂ ∂ ∂   r uur ur r r Coordonnées cylindriques ( ) 1 rot 1 1 z z A A e z A A A e z A A k θ ρ ρ θ ρ θ   ∂ ∂   − ρ ∂θ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ρ ∂ ∂ ρ −   ρ ∂ρ ρ ∂θ uur uur ur uur r Coordonnées sphériques ( ) ( ) ( ) 1 sin sin 1 1 rot sin 1 r r r A A e r A A r A e r r A r A e r r θ φ φ θ θ φ     ∂ ∂     θ − θ ∂θ ∂φ     ∂ ∂ = −   θ ∂φ ∂     ∂ ∂ −     ∂ ∂θ   uur uur ur uur uur
Pr. M.BGHOUR & A.SDAQ 3/4 2.4. Laplacien L’opérateur Laplacien noté ∆ (ou encore 2 ∇ ) peut s’appliquer à une fonction scalaire V ou à un vecteur A ur . Expression du Laplacien dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes • Laplacien scalaire : 2 2 2 2 2 2 2 V V V V V x y z ∂ ∂ ∂ ∆ = ∇ = + + ∂ ∂ ∂ • Laplacien vectoriel : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x y y y z z z A A A i x y z A A A A A j x y z A A A k x y z   ∂ ∂ ∂   + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂   r ur ur r r 2 ∆ ∇ Coordonnées cylindriques • Laplacien scalaire : 2 2 2 2 2 1 1 V V V V z ∂ ∂ ∂ ∂   ∆ = ρ + +   ρ ∂ρ ∂ρ   ρ ∂θ ∂ • Le Laplacien vectoriel n’a pas une expression simple dans ce cas Coordonnées sphériques • Laplacien scalaire : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin sin sin V V V rV r r r r ∂ ∂ ∂ ∂   ∆ = + + θ   ∂ θ ∂φ θ ∂θ ∂θ   • De même, le Laplacien vectoriel n’a pas une expression simple dans ce cas 2.5. Quelques relations à connaître entre les opérateurs On considère deux fonctions scalaire V et U et deux fonctions vectorielles A ur et B ur . On démontre les relations suivantes : • ( ) ( ) 2 div gradV V autreécriture V V = ∆ ∇ ⋅ ∇ = ∇ uuuur ur ur La divergence du gradient est égale au Laplacien • rot( grad V autreécriture V ) = ∇ ∧ ∇ = 0 0 ( ) uur uuuuur ur ur r Le rotationnel d’un gradient est nul • div (rot A autreécriture A ) = ∇ ⋅ ∇ ∧ = 0 0 ( ) uuur ur ur ur ur La divergence d’un rotationnel est nulle • ( ) ( ) ( ) ( ) 2 rot rot A grad divA A autreécriture A A A = − ∆ ∇ ∧ ∇ ∧ = ∇ ∇ ⋅ − ∇ uuur uuur ur uuuuur ur ur uuur ur ur ur ur ur ur • grad = grad grad (U V V U U V autreécriture U V V U U V ) ( ) + ∇ = ∇ + ∇ ( ) ( ) ( ) ( ) uuuur uuuur uuuur ur ur ur • div Vdiv + grad ( V A A A V autreécriture V A V A A V ) = ⋅ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∇ ( ) ( ) ( ) ur ur ur uuuur ur ur ur ur ur ur • rot V A grad V A V rot A autreécriture V A V A V A ( ) = ∧ + ∇ ∧ = ∇ ∧ + ∇ ∧ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uuur ur uuuuur ur uuur ur ur ur ur ur ur ur • div rot rot ( A B B A A B autreécriture A B B A A B ∧ = ⋅ − ⋅ ∇ ⋅ ∧ = ⋅ ∇ ∧ − ⋅ ∇ ∧ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ur ur ur uur ur ur uur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur