Title Chương 5_Bài 15_ _KNTT_Đề bài.pdf ✅

CHƯƠNG V: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa 1: Ta nói dãy số un  có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kỉ hiệu lim 0 n n u   hay 0 n u  khi n   . Chú ý. Tữ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau: - 1 lim 0 k n n  với k là một số nguyên dương; - lim 0 n n q   nếu | q |1; - Nếu n n u  v với mọi n 1 và lim 0 n n v   thì lim 0 n n u   . Định nghĩa 2: Ta nói dãy số un  có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu lim   0 n n u a    , kí hiệu lim n n u a   hay n u  a khi n   . 2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN a) Nếu lim n u = a và lim n v = b thì · lim(un +vn )= a+b · lim(un -vn )= a-b lim( . ) . n n · u v = a b lim n n u a v b æ ö ç ÷ · = è ø (nếu b 1 0 ). b) Nếu lim 0, n n u a u n ìï = í ï 3 " î thì lim . 0 n u a aìï = í ï î 3 3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn (un ) có công bội q , với q <1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 2 3 ( ) 1 1 . 1 S n u u u u u q q = + + + + = - 1⁄4 +1⁄4 < 4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số un  có giới hạn là  khi n   , nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim n u   hay n u   khi n  . • Dãy số un  có giới hạn là  khi n   , nếu limun    . Kí hiệu: lim n u   hay n u   khi n  . Nhận xét: lim lim  . n n u    u   Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim k n   với k nguyên dương; b) lim n q   nếu q  1 . Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây: a) Nếu lim n u  a và lim n v   thìlim 0 n n u v  . b) Nếu lim 0 n u  a  , lim 0 n v  và 0, 0 n v  n  thì lim . n n u v   c) Nếu lim n u   và lim 0 n v  a  thì lim . . n n u v   B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 5.1. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 1 lim ; n 2 1 n n  n    b)   2 lim 2 n n n n    . Lời giải a) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim lim 2 1 1 1 2 2 lim 2 n n n n n n n n n n n n n                             . b)   2 2 2 2 2 2 2 lim lim 2 1 lim lim lim 1 2 2 2 1 1 1 1 n n n n n n n n n n v n n n n n n n n                           . Bài 5.2. Cho hai dãy số không âm un  và vn  với lim 2 n x u   và lim 3 n x v   . Tìm các giới hạn sau: a) 2 lim n x n n u v  u ; b) lim 2 n n x u v   . Lời giải a)   2 2 lim 2 2 lim 4 lim lim 3 2 n n x x n n n n x xu u v u v u           . b) lim 2  lim 2 lim 2 2 3 8 lim 2 8 n n n n n n x x x x u v u v u v               . Bài 5.3. Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi: a) 2 1 2 1 n n u n    ; b) 2 2 1 n u  n   n . Lời giải
a) 2 2 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 lim lim lim 2 1 2 1 2 1 lim x n x x x x n n n u n n n n n                           . Ta có: 2 2 1 2 1 lim 1 1, lim 0 x n x n n                 suy ra lim n x u     . 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 1 b) lim lim 2 1 lim 2 1 1 1 1 lim lim 2 1 1 2 1 1 n n n n n n n n v n n n n n n n n n n n n n                                    Bài 5.4. Viết các số thập phân vô hạn phân số: a) 1,12 1,121212. ; b) 3,102  3,102102102 Lời giải a) 1,1212121 0,12  0,0012  0,000012  2 4 6 2 4 6 1 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10                     là tổng cấp số nhân lùi vô hạn vởi 2 2 1 u 12 10 ,q 10      nên 2 1 2 12 10 37 1,121212 1 1 1 1 10 33 u q           b) 3,102102102 3 0,102  0,000102  0,000000102  3 6 9 3 102 10 102 10 102 10            3 6 9 102 10 102 10 102 10          là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với 3 3 1 u 102 10 ,q 10      nên   3 1 3 102 10 1033 3, 102 3 3 1 1 10 333 u q           . Bài 5.5. Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg . Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài. Lời giải Đặt r  5% a) • Sau khi uống viên thuốc ngày thứ 1, hàm lượng thuốc trong cơ thể là 1 u 150mg • Sau khi uống viên thuốc ngày thứ 2, hàm lượng thuốc trong cơ thể là u2  5%u1 150  5%.150150 1501 r • Hàm lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 3 là     2 3 2 u  5%u 150 150 1 r r 150 150 r  r 1 • Hàm lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 4 là     2 3 2 4 3 u  5%u 150 150 r  r 1 r 150 150 r  r  r 1
• Hàm lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 5 là     3 2 4 3 2 5 4 u  5%u 150 150 r  r  r 1 r 150 150 r  r  r  r 1 157,9mg b) Lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng liên tục trong n ngày   1 2 150 ... 1 n n n u r r r        Nếu sự dụng thuốc lâu ngày thì hàm lượng thuốc trong cơ thể hằng ngày là   1 2 1 100 20 lim lim 150 ... 1 150. 150. 150. . 1 95 19 n n n n n u r r r r                   Bài 5.6. Cho tam giác vuông ABCvuông tại A có AB  h và góc B bằng  H.5.3. Từ A kẻ AA1  BC , từ A1 kẻ A1A2  AC , sau đó lại kẻ A2A3  BC . Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3. Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và  . Lời giải Độ dài đường gấp khúc tạo thành scấp số nhân với số hạng tổng quát là: 1 sin (sin ) n n u  h      Độ dài đường gấp khúc: AA1  A2A3  Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 1 u  sin  h,q  sin nên 1 2 3 sin 1 sin h AA A A       . C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của k n , với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn. Chú ý : Cho P(n), Q(n) lần lượt là các đa thức bậc m, k theo biến n : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 m k k k k k m m m m a n a a Q n b n b n b n P x a n b b a n - - - = + - + + + =/ = + + + + =/   Khi đó ( ) ( ) lim lim m m k k P n a n Q n b n = , viết tắt ( ) ( ) m m k k P n a n Q n b n  , ta có các trường hợp sau : Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì ( ) ( ) lim 0. P n Q n =