Title Chuyên đề 17_Quan hệ vuộng góc_Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 17_QUAN HỆ VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CẨN NHỚ 1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a  và b cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b (Hình 1), kí hiệu (a b, ) hoặc (a b, ). Nhận xét Góc giữa hai đường thẳng ab, không phụ thuộc vào vị trí điểm O . Thông thường, khi tìm góc giữa hai đường thẳng ab, , ta chọn O thuộc a hoặc O thuộc b . Góc giữa hai đường thẳng ab, bằng góc giữa hai đường thẳng ba, , tức là (a b b a , , ) = ( ). Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90 . Nếu a b // thì (a c b c , , ) = ( ) với mọi đường thẳng c trong không gian. 2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 . Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta kí hiệu a b ⊥ . Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường còn lại. 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) (Hình 6), kí hiệu d P ⊥ ( ) hoặc (P d ) ⊥ . 4. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Nhận xét: Ta có thể chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
5. Tính chất Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. 6. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Tính chất 3: Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Tính chất 4: Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. 7. Phép chiếu vuông góc Cho mặt phẳng (P) và một điểm M tuỳ ý trong không gian. Lấy đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) , gọi giao điểm của d và (P) là M  . Điểm M  gọi là hình chiếu vuông góc (hay hình chiếu) của điểm M trên (P) . Cho mặt phẳng (P) . Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M  của điểm đó lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) . Nhận xét: Vì phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song (khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu) nên phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. 8. Định lí ba đường vuông góc Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) . Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a  của a trên (P) . 9. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) , ta có định nghĩa sau: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90 . Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d ' của đường thẳng d trên (P) .
Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ 0 đến 90 (Hình 14). 10. Góc nhị diện a) Nửa mặt phẳng Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai phần, mỗi phần được gọi là một nửa mặt phẳng và đường thẳng đó được gọi là bờ của mỗi nửa mặt phẳng này. b) Góc nhị diện Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ. Ví dụ: Xét góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) có chung bờ là đường thả̉ng d (Hình 15 ) , kí hiệu là M d N , ,  . Đường thẳng d gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng (P) và (Q) gọi là một mặt của góc nhị diện.
Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là M d N , ,  với M , N lần lượt là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng (P Q ),( ) nhưng không thuộc đường thẳng d . c) Góc phẳng nhị diện Trong không gian, cho góc nhị diện. Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuộc hai mặt nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho. Ví dụ: Cho góc nhị diện P d Q , ,  . Lấy O thuộc d , hai tia Ox Oy , lần lượt nằm trên hai nửa mặt phẳng (P Q ),( ) và cùng vuông góc với d . Khi đó góc xOy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện P d Q , , . Nhận xét: Cạnh của góc nhị diện luôn vuông góc với mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đó. d) Số đo của góc nhị diện Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó. Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90 thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông. Nhận xét: Số đo của góc nhị diện từ 0 đến 180 . 11. Hai mặt phẳng vuông góc Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong các góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho gọi là vuông góc với nhau. Ví dụ: Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì ta nói (P) vuông góc với (Q) (Hình 21), kí hiệu là (P Q ) ⊥ ( ) hoặc (Q P ) ⊥ ( ) .