Title Đề Thi Olympic Toán Trại Hè Phương Nam 2016 [Đáp Án].pdf ✅

http://www.molympiad.ml Đề thi Olympic Toán học Trại hè phương Nam Ngày thi: 29/7/2016 Thời gian làm bài: 180 phút. Đề bài có 2 trang Bài 1. Giải phương trình 2 2 2 2 13(1 2 ) 9(1 2 ) 0. 1 1 x x x x       Bài 2. Trong tam giác ABC, số đo 3 cạnh theo một đơn vị đo nào đó là 3 số nguyên liên tiếp và góc lớn nhất gấp đôi góc nhỏ nhất. Hãy tìm chu vi tam giác ABC (theo đơn vị đo đã cho). Bài 3. Một nhà địa chất đang ở vị trí A trong sa mạc, cách con đường thẳng 10km (AN = 10km). Trên con đường thì xe của nhà địa chất có thể chạy với vận tốc 50km/h nhưng trên sa mạc thì nó chỉ chạy được với vận tốc 30km giờ. Nhà địa chất đang rất khát nước và ông biết rằng có một trạm xăng P ở vị trí xuôi theo đường 25 km (NP = 25 km) và ở đó có xá xị Chương Dương ướp lạnh. a) Nhà địa chất tốn bao nhiêu phút để đi từ A đến P theo đường sa mạc? b) Nếu nhà địa chất đi từ A đến N, sau đó sử dụng con đường để đến P thì có nhanh hơn không? c) Hãy tìm một cách đi nhanh hơn cho nhà địa chất. Cách của bạn đã là nhanh nhất chưa? Bài 4. Cửa hàng cá viên chiên “Fried Fish Rolls of the South” đóng cá viên chiên thành 3 loại hộp: hộp 6 viên, hộp 10 viên và hộp 15 viên. Một nhân viên tập sự của cửa hàng thắc mắc với cửa hàng trưởng “Nếu chẳng hạn khách hàng muốn mua 19 viên thì ta không thể
http://www.molympiad.ml bán cho họ bằng những hộp nguyên được, chắc chắn phải xé 1 hộp ra bán lẻ”. Cửa hàng trưởng trả lời “Đúng là có những rắc rối như vậy. Nhưng cửa hàng chúng ta chủ yếu bán cho các trường học, họ đặt hàng số lượng đủ lớn và hầu như không xảy ra chuyện đó”. Hãy tìm số N0 lớn nhất mà nếu khách hàng đặt hàng số lượng N0 viên, cửa hàng không thể phục vụ mà không xé lẻ một hộp nào đó. Bài 5. Một nhóm người xếp thành một hàng dọc được gọi là xếp theo chuẩn thứ tự nếu điều kiện sau được thỏa mãn: Nếu A đứng bên trái B trong hàng (A, B không nhất thiết kề nhau) thì A cao hơn B không quá 8cm. Ví dụ, 5 người có chiều cao là 160, 165, 170, 175, và 180 cm tương ứng có thể xếp theo chuẩn thứ tự (từ trái qua phải) như sau 160, 170, 165, 180, 175 cm. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 người có chiều cao tương ứng là 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, và 185 cm theo chuẩn thứ tự?

http://www.molympiad.blogspot.com c) Ta có thể đi nhanh hơn, bằng cách đi chéo từ điểm A đến điểm M nằm trên đoạn NP. Ví dụ sao cho MN = 10. Khi đó AM MP   10 2, 15 và thời gian đi theo lộ trình AM, MP bằng 2 10 15 30 50  giờ, tương đương 46.3 phút. Nếu muốn tìm phương án tối ưu, ta đặt NM = x và thời gian đi theo lộ trình AM, MP là 2 100 25 ( ) . 30 50 x x t x     Khảo sát hàm số t(x), ta dễ dàng tìm được min t(x) bằng 23/30 (tương ứng 46 phút), đạt được khi x = 15/2. Đó chính là phương án tốt nhất. Ngoài phương pháp khảo sát hàm số, ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để đánh giá t(x) như sau 2 2 2 2 100 25 100 . 100 7,5 25 100 7,5 25 23 ( ) . 30 50 30. 100 7,5 50 30.12,5 50 30 x x x x x x t x                Thang điểm: a) 0.5, b) 0.5 c) 0.5 nếu đưa ra một phương án nào đó tốt hơn phương án b và 1 điểm nếu tìm ra phương án tốt nhất. 4. (2 điểm) Bài toán quy về việc tìm số nguyên dương N0 lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng 6x + 10y + 15z với x, y, z là các số nguyên không âm. Ta thấy số 29 không biểu diễn được. Thật vậy, nếu 29 = 6x + 10y + 15z thì vì 29 chia 3 dư 2 và 6x + 15z chia hết cho 3 nên 10y phải chia 3 dư 2, suy ra y chia 3 dư 2, tức là y ≥ 2. Từ đây suy ra y = 2. Nhưng khi đó 6x + 15z = 9 không thể xảy ra với x, z nguyên không âm. Ta chứng minh mói số > 29 đều biểu diễn được. Điều này khá đơn giản: 30 = 2.15 31 = 10 + 15 + 6 32 = 2.6 + 2.10 33 = 3.6 + 15 34 = 4.6 + 10 35 = 2.10 + 15