Title অধ্যায় ২ঃ ভেক্টর । পর্ব 10 (1).pdf ✅

পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র–অধ্যায় ২–ভেক্টর Copyright By APAR-CHINMOY ADMISSION PROGRAM কবপরাইট আইন, ২০০০ লংঘনজবনত শাবি ৮২। কবপরাইট িা অনযানয অবধ্কার লঙ্ঘনজবনত অপরাধ্ অপরাধ্ শাবি ভে িযবি ভিআইবনোবি এই ভকার্থবটর বেবিও ভকাবনা ধ্রবের র্ামাবজক ভোগাবোগ মাধ্যবম বিতরে করবিন (ভেমন Facebook, Twitter, Instagram ইতযাবদ) িা ভকান কবমথর কবপরাইট ইচ্ছাকৃতোবি লঙ্ঘন কবরন িা কবরবত র্হায়তা কবরন বতবন অনূর্ধ্থচার িৎর্র বকন্তু অনূযন ছয়মার্ ভময়াবদর কারাদণ্ড এিং অনূর্ধ্থদুই লক্ষ টাকা বকন্তু অনূযন পঞ্চাশ হাজার টাকার অর্থদবণ্ড দণ্ডেীয় হইবিন। ভে িযবি ভিআইবনোবি এই ভকার্থবটর বেবিও ভকাবনা ধ্রবের র্ামাবজক ভোগাবোগ মাধ্যম িযতীত অনয ভকাবনা মাধ্যবম (Youtube, Viber, IMO, Whatsaap, Telegram ইতযাবদ) বিতরে করার ভচষ্টা করবিন িা অনয ভকান কবমথর কবপরাইবটর অবধ্কার ইচ্ছাকৃতোবি লঙ্ঘন কবরন িা কবরবত র্হায়তা কবরন বতবন অনূর্ধ্থপাাঁচ িৎর্র বকন্তু অনূযন এক িৎর্র ভময়াবদর কারাদণ্ড এিং অনূর্ধ্থপাাঁচ লক্ষ টাকা বকন্তু অনূযন এক লক্ষ টাকার অর্থদবণ্ড দণ্ডেীয় হইবিন। কবপরাইট এিং প্রকাশকঃ ৮৩। বিতীয় িা পরিতথী অপরাবধ্র িবধ্থত শাবি ভে িযবি ধ্ারা ৮২ এর অধ্ীবন দবণ্ডত হইয়া পুনরায় অনুরূপ ভকান অপরাবধ্ দবণ্ডত হইবল বতবন বিতীয় এিং পরিতথী প্রবতযক অপরাবধ্র জনয অনূধ্থি বতন িৎর্র বকন্তু অনূযন ছয় মাবর্র কারাদণ্ড এিং অনূধ্থি বতন লক্ষ টাকা বকন্তু অনূযন এক লক্ষ টাকা অর্থদবণ্ড দণ্ডনীয় হইবিন। Apar-Chinmoy Admission Program ভকার্থবটর বেবিও ভেবকাবনা গ্রবপ ভশয়ার করা বকংিা টাকার বিবনমবয় বিক্রয় করা শাবিবোগয অপরাধ্। শুধ্ুমাত্র Apar-Chinmoy Admission Program ভকার্থবটর বেবিও বিক্রয় করার অবধ্কার রাবে। কবপরাইট (র্ংবশাধ্ন) আইন, ২০০৫ িারা ধ্ারা “৮২” প্রবতস্থাবপত কবপরাইট (র্ংবশাধ্ন) আইন, ২০০৫ িারা ধ্ারা “৮৩” এর প্রর্ম শতাংশ প্রবতস্থাবপত
পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র–অধ্যায় ২–ভেক্টর Copyright By APAR-CHINMOY ADMISSION PROGRAM 2 অধ্যায় ২ ভেক্টর Problem-1: অিস্থান ভেক্টরবক িযিকলন কবর ভিগ ও ত্বরে বনেথয় কবরা। র্মাধ্ান: মবনকবর, বত্রমাবত্রক িযিস্থাপনায় r একবট অিস্থান ভেক্টর। r = xiƸ+ yjƸ+ zk෠ ভিগ-এর মান বনেথয়: অবত ক্ষুদ্রর্মবয়, rԦ এর মান পবরিতথবনর হারবক ভিগ িবল। ∴ ভিগ, vԦ = d dt rԦ = d dt xiƸ+ yjƸ+ zk෠ = dx dt iƸ+ dy dt jƸ+ dz dt k෠ ত্বরে-এর মান বনেথয়: অবত ক্ষুদ্রর্মবয় ভিগ vԦ এর পবরিতথবনর হারবক ত্বরে িবল। ∴ ত্বরে, aԦ = d dt vԦ = d dt dx dt iƸ+ dy dt jƸ+ dz dt k෠ = d 2x dt 2 iƸ+ d 2y dt 2 jƸ+ d 2z dt 2 k෠ Problem-2: মুিোবি পড়ন্ত একবট িস্তুর র্রেবক x = 1 2 gt 2 িারা িেথনা করা োয়। িস্তুবটর ভিগ - (ক) 1 ভর্বকন্ড পর কবতা হবি? (ে) 5 ভর্বকন্ড পর কবতা হবি? (গ) িস্তুবটর ত্বরে কবতা হবি? র্মাধ্ান: এোবন, র্রে, x = 1 2 gt 2 1 ভর্বকন্ড পর ভিগ, v1 = ? 5 ভর্বকন্ড পর ভিগ, v2 = ? এিং ত্বরে, a = ? এেন, x = 1 2 gt 2 t −এর র্াবপবক্ষ x −এর ভিবরবেবটে dx dt = 1 2 g d dt t 2 = 1 2 . 2gt = gt ∴ v = gt
পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র–অধ্যায় ২–ভেক্টর Copyright By APAR-CHINMOY ADMISSION PROGRAM 3 (ক) 1 ভর্বকন্ড পবর ভিগ, v1 = 9.8 ms −2 1s = 9.8 ms −1 (Ans. ) (ে) 5 ভর্বকন্ড পবর ভিগ, v2 = 9.8 ms −2 5s = 49 ms −1 (Ans. ) (গ) িস্তুবটর ত্বরে, a = dv dt = d dt gt = g ∴ a = 9.8 ms −2 (Ans. ) Problem-3: একবট গবতশীল কোর ভকাবনা মুহূবতরথ অিস্থান ভেক্টর r = iƸcosωt + jƸsinωt িারা বনবদথশ করা োয়। এোবন ω একবট ধ্রুিক। কোবটর তাৎক্ষবেক ভিগ ও ত্বরে বনেথয় কবরা এিং আবরা ভদোও ভে, r × v =একবট ধ্রুিক ভেক্টর। র্মাধ্ান: আমরা জাবন, vԦ = drԦ dt এোবন, rԦ = iƸcosωt + jƸsinωt ভিগ, v = ? ত্বরে, a = ? = d dt iƸcosωt + jƸsinωt = d dt iƸcosωt + d dt jƸsinωt = − ω iƸsinωt + ω jƸcosωt = ω − ω iƸsinωt + ω jƸcosωt (Ans. ) এিং, aԦ = dv dt = d dt ω − ω iƸsinωt + ω jƸcosωt = ω − ω iƸcosωt − ω jƸsinωt = − ω 2 iƸcosωt + ω jƸsinωt = −ω 2 rԦ (Ans. )
পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র–অধ্যায় ২–ভেক্টর Copyright By APAR-CHINMOY ADMISSION PROGRAM 4 পুনরায়, rԦ × vԦ = iƸ jƸ k෠ cos ωt sin ωt 0 − ω sin ωt ω cos ωt 0 = k෠ ω cos2 ωt + ωsin2 ωt = k෠ω = একবট ধ্রুিক ভেক্টর (প্রমাবেত) Problem-4: দুইবট ভেক্টর A = iƸt 2 − jƸt + 2t + 1 k෡ এিং B = 5iƸt + jƸt − k෡t 3 হবল d dt A. B ও d dt A × B বনেথয় কবরা। র্মাধ্ান: এোবন, A = iƸt 2 − jƸt + 2t + 1 k෠ B = 5iƸt + jƸt − k෠t 3 d dt AԦ. B = ? d dt AԦ × B = ? এেন, AԦ. B = AxBx + AyBy + AzBz = t 2 5t + −t t + 2t + 1 −t 3 = 5t 3 − t 2 − 2t 4 − t 3 = −2t 4 + 4t 3 − t 2 ∴ d dt AԦ. B = d dt (−2t 4 + 4t 3 − t 2 ) = −2 × 4t 3 + 4 × 3t 2 − 2t = −8t 3 + 12t 2 − 2t (Ans)
পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র–অধ্যায় ২–ভেক্টর Copyright By APAR-CHINMOY ADMISSION PROGRAM 5 = iƸ −t −t 3 − 2t + 1 t − jƸ t 2 −t 3 − 2t + 1 5t + k෠ t 2 t − −t 5t = iƸt 4 − 2t 2 − t − jƸ−t 5 − 10t 2 − 5t + k෠ t 3 + 5t 2 ∴ d dt AԦ × B = d dt iƸt 4 − 2t 2 − t − jƸ −t 5 − 10t 2 − 5t + k෠ t 3 + 5t 2 = iƸ 4t 3 − 4.t − 1 − jƸ −5t 4 − 20t − 5 + k෠ 3t 2 + 10t = iƸ 4t 3 − 4t − 1 + jƸ 5t 4 + 20t + 5 + k෠ 3t 2 + 10t (Ans. ) Problem-5: েবদ φ = 2xy 4 − x 2z হয়, তবি 2, −1, −2 বিন্দুবত ∇φ বনেথয় কবরা। র্মাধ্ান: ∇φ = iƸ ∂ ∂x + jƸ ∂ ∂y + k෠ ∂ ∂z 2xy 4 − x 2 z = iƸ ∂ ∂x 2xy 4 − x 2 z + jƸ ∂ ∂y 2xy 4 − x 2 z + k෠ ∂ ∂z 2xy 4 − x 2 z = iƸ 2y 4 − 2xz + jƸ 8xy 3 + k෠ −x 2 = 2iƸ y 4 − xz + 8jƸxy 3 + k෠x 2 ∴ 2, −1, −2 বিন্দুবত ∇φ = 2iƸ −1 4 − 2 −2 − 8jƸ 2 −1 3 − k෠ 2 2 = 2iƸ 1 + 4 − 16jƸ− 4k෠ = 10iƸ− 16jƸ− 4k෠ (Ans. ) আিার, AԦ × B = iƸ jƸ k෠ t 2 −t 2t + 1 5t t −t 3