Title TUYỂN TẬP CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ 2025 ✅

Trần Lê Vĩnh Phúc Lớp 12T1: Ca A (18h-21h Thứ 6 hoặc 7) và ca B (8h-11h hoặc 18h-21h Chủ nhật) TUYỂN TẬP CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ NĂM 2025 1. Đơn điệu Câu 1. Thể tích V (đơn vị: centimét khối) của 1 kg nước tại nhiệt độ T (0◦C ≤ T ≤ 30◦C) được tính bởi công thức sau: V (T) = 999,87 − 0,06426T + 0,0085043T 2 − 0,0000679T 3 . (Nguồn: J. Srewart, Calculux, Sevenuh Ediriom, Brooks/Cole, CENGAGE Leaming 2012) Hỏi thể tích V (T), 0 ◦C ≤ T ≤ 30◦C, giảm trong khoảng nhiệt độ nào? Câu 2. Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức f(x) = 0,01x 3 − 0,04x 2 + 0,25x + 0,44 (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 (0 ≤ x ≤ 7). (Theo: https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-qua- du-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam-2023/116220.vna) a) Tính đạo hàm của hàm số y = f(x). b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam phát triển liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017. Câu 3. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x(t) = t 3 − 6t 2 + 9t với t ≥ 0. Khi đó x ′ (t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu v(t); v ′ (t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu a(t). a) Tìm các hàm v(t) và a(t). b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm? Câu 4. Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t = 0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t = 126 (s), cho bởi công thức sau: v(t) = 0,001302t 3 − 0,09029t 2 + 23, (v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m) (Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Leaming 2012). Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi? 1
Trần Lê Vĩnh Phúc Lớp 12T1: Ca A (18h-21h Thứ 6 hoặc 7) và ca B (8h-11h hoặc 18h-21h Chủ nhật) Câu 5. Một công ty tiến hành khai thác 17 giếng dầu trong khu vực được chỉ định. Trung bình mỗi giếng dầu chiết xuất được 245 thùng dầu mỗi ngày. Công ty có thể khai thác nhiều hơn 17 giếng dầu nhưng cứ khai thác thêm một giếng thì lượng dầu mỗi giếng chiết xuất được hằng ngày sẽ giảm 9 thùng. Để giám đốc công ty có thể quyết định số giếng cần thêm cho phù hợp với tài chính, hãy chỉ ra số giếng công ty có thể khai thác thêm để sản lượng dầu chiết xuất tăng lên. 2. Cực trị Câu 6. Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất x sản phẩm (0 ≤ x ≤ 300) được cho bởi hàm số y = −x 3 + 300x 2 (đơn vị: đồng). Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để đạt được lợi nhuận cao nhất? Câu 7. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức h(t) = 2 + 24,5t − 4,9t 2 . Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất? Câu 8. Giả sử doanh số (tính bằng sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong một năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số f(t) = 5000 1 + 5e −t , t ≥ 0, trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó đạo hàm f ′ (t) biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? Câu 9. Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số y = h(x) = − 1 1 320 000 x 3 + 9 3 520 x 2 − 81 44 x + 840, với 0 ≤ x ≤ 2 000. Tìm tọa độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0; 2 000]. x y O y = h(x) 2 000 500 1 000 1 500 2 000 Câu 10. Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (Hình a) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng 80 cm, mặt cắt được mô tả ở Hình b. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em. a) x cm y cm x cm b) Hình minh họa 2
Trần Lê Vĩnh Phúc Lớp 12T1: Ca A (18h-21h Thứ 6 hoặc 7) và ca B (8h-11h hoặc 18h-21h Chủ nhật) a) Gọi S là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của x và viết công thức tính S theo x. b) Với x đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em? 3. Tiệm cận Câu 11. Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức y(t) = 5 − 15t 9t 2 + 1 , với y được tính theo mg/l và t được tính theo giờ, t ≥ 0. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y(t). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian t trở nên rất lớn? (Theo: www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization_of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc) Câu 12. Trong thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v được cho bởi công thức: m(v) = ... m0 1 − v 2 c 2 , trong đó m0 là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Xem m là hàm số theo vận tốc v, tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Từ đó nhận xét khối lượng của vật khi vận tốc của nó càng gần với vận tốc ánh sáng. Câu 13. Một bể chứa 5000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ 30 gam muối cho mỗi lít nược vởi tốc độ 25 lít/phút. a) Chứng tỏ nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nược trong bể, đơn vị: gam/lít) là f(t) = 30t 200 + t . b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. c) Nêu nhận xét về nồng độ muối trong bể sau thời gian t ngày càng lớn. Câu 14. Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x (tháng) được tính theo công thức S(x) = 200 Å 5 − 9 2 + x ã , trong đó x ≥ 1 (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). a) Xem y = S(x) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [1; +∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty trong x (tháng) khi x đủ lớn. Câu 15. Một ống khói của nhà máy điện hạt nhân có mặt cắt là một hypebol (H) có phương trình chính tắc là x 2 272 − y 2 402 = 1. Xét hai nhánh bên trên Ox của (H) là đồ thị (C). Hỏi đồ thị (C) có bao nhiêu đường tiệm cận xiên? 3
Trần Lê Vĩnh Phúc Lớp 12T1: Ca A (18h-21h Thứ 6 hoặc 7) và ca B (8h-11h hoặc 18h-21h Chủ nhật) 4. Bài toán tối ưu về kinh tế Câu 16. Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần. a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Xác định công thức của hàm p = p(x) (người ta còn gọi hàm p(x) là hàm cầu). b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhât? c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là C(x) = 12 000 − 3x (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất? Câu 17. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất? Câu 18. Một nhà xuất bản nhận in 4 000 ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả 14 máy in được cài đặt, hoạt động tự động và giám sát bởi 1 kĩ sư. Mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong một giờ. Chi phí cài đặt máy in là 12 USD/máy, chi phí giám sát là 9 USD/giờ. Tính số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất ? Câu 19. Một cửa hàng bán lẻ bán 2 500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10 USD một cái một năm. Để đặt hàng nhà sản xuất thì mỗi lần chi phí cố định là 20 USD, cộng thêm 9 USD. Biết rằng số lượng tivi trung bình gửi trong kho bằng một nửa số tivi của mỗi lần đặt hàng. Như vậy cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất bao nhiêu lần mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất ? Câu 20 (Đề minh họa năm 2025). Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 ≤ x ≤ 500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là F(x) = x 3 − 1999x 2 + 1001000x + 250000 (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là G(x) = x + 1000 + 250000 x (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? 5. Bài toán tối ưu về hình học phẳng Câu 21. Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất? 4