Title CHUYÊN ĐỀ 3. BẮT ĐẲNG THỨC.pdf ✅

Chuyên đề 3. BẤT ĐẲNG THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Lý thuyết: Để chứng minh , ta A  B chứng minh . A  B  0 Sử dụng hằng đẳng thức . 2 A  0 Tính chất: Giả sử tồn tại các biểu thức và , khi a,b c đó: Tính chất 1: Nếu thì . a b b c      a  c Tính chất 2: Nếu thì . a  b a  c  b  c Hệ quả 1: Nếu thì . a  b a  c  b  c Hệ quả 2: Nếu thì . a  c  b a  b  c Tính chất 3: Nếu thì . a b c d      a  c  b  d Tính chất 4: Nếu thì a  b . 0 0 ac bc ac bc khi c khi c        Hệ quả 3: Nếu thì . a  b a  b Hệ quả 4: Nếu thì . a  b 0 0 a b c c a b khi c khi c c c          Tính chất 5: Nếu thì . 0 0 a b c d        ac  bd Tính chất 6: Nếu thì . a  b  0 1 1 0 a b   Tính chất 7: Nếu thì . * a  b  0, n n n a  b Tính chất 8: Nếu thì . * a  b  0, n n n a  b Hệ quả 5: Nếu và là hai a b số dương thì . 2 2 a  b  a  b Nếu và là hai a b số không âm thì . 2 2 a  b  a  b Một số hằng đẳng thức: + với mọi , dấu “=” xảy ra khi . 2 A  0 A A  0 + với mọi , dấu “=” xảy ra khi . 2 0 n A  A A  0 + A  0 với mọi , A dấu “=” xảy ra khi . A  0 + .  A  A  A + , A  B  A  B dấu “=” xảy ra khi . A.B  0

Giải: a) Ta xét hiệu:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 2 2 2 0. 4 4 a b a b a b a ab b a b a b ab a b                       Vậy: 2 2 2 2 2 a  b  a  b       Dấu “=” xảy ra khi . a  b b) Ta xét hiệu:       . 2 2 2 2 1 2 2 2 0 3 3 9 a b c a b c a b b c c a                       Vậy . 2 2 2 2 3 3 a  b  c  a  b  c       Dấu “=” xảy ra khi . a  b  c Nhận xét: Các bước chứng minh theo A  B định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu: . H  A  B Bước 2: Biến đổi   hoặc . 2 H  C  D     2 2 H  C  D  ...  E  F Bước 3: Kết luận . A  B  Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương. Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức được chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau:       2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 . 2 2 2 . 3 3 . A B A AB B A B C A B C AB AC BC A B A A B AB B                     Ví dụ 1: Cho là các a,b,c,d,e số thực, chứng minh rằng: a) . 2 2 4 b a   ab b) . 2 2 a  b 1 ab  a  b c) .   2 2 2 2 2 a  b  c  d  e  a b  c  d  e Giải: a) . 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 0 4 b a   ab  a  b  ab  a  a  b    (bất đẳng thức này luôn đúng). 2  2a  b  0
Vậy . 2 2 4 b a   ab Dấu “=” xảy ra khi . 2a  b b)     2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 0 a b ab a b a b ab a b a ab b a a b b                            (bất đẳng thức này luôn đúng). 2 2 2  a  b  a 1  b 1  0 Vậy . 2 2 a  b 1 ab  a  b Dấu “=” xảy ra khi . a  b 1 c)               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a ab b a ac c a ad d a ac c                                       (bất đẳng thức này luôn 2 2 2 2  a  2b  a  2c  a  2d  a  2c  0 đúng). Vậy: .   2 2 2 2 2 a  b  c  d  e  a b  c  d  e Ví dụ 2: Cho và . xy 1 x  y Chứng minh: . 2 2 2 2 x y x y    Giải: Vì nên , suy ra . x  y x  y  0   2 2 x  y  2 2 x  y . 2 2 2 2  x  y  2 2x  2 2y  0  x  y  2  2 2x  2 2y  2  0 Vì nên . xy 1 2  2xy Ta có: .   2 2 2 2 2 x  y  2  2 2x  2 2y  2  x  y  2  2 2x  2 2y  2xy Vậy: .     2 2 2 2 2 x  y  2 2 x  y  x  y  2  2 2x  2 2y  2xy  0   (bất đẳng thức này luôn đúng). 2  x  y  2  0 Bài tập tương tự: 1) Chứng minh: . 2 2 2 9x y  y  6xy  2y 1 0; x, y  2) Chứng minh: . 2 2 2 a  b  c  a  b  c Hướng dẫn: Bình phương hai vế.  Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc. Một số bất đẳng thức hay dùng: a) Các bất đẳng thức phụ: