Title 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ.Image.Marked.pdf ✅

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Bài 1. ( Đề vào lớp 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 2023-2024) Cho các a,b mãn 3 a  b  29 . Tìm giá ! "#$ % 2 4 P  a  b 19 . Lời giải Cách 1 : Ta có 3 3 a  b  29  a  29  b do *)   2 2 4 3 4 6 4 3 P  a  b 19  29  b  b 19  b  b  58b  822 Ta có 6 4 3 6 4 3 P  b  b  58b  822  b  b  58b  756  66     2 4 3 2  b  3 . b  6b  28b  56b  84  66 Do 4 3 2 b  6b  28b  56b  84  0,b  0 nên     2 4 3 2 P  b  3 . b  6b  28b  56b  84  66  66 /$ "2 34 ra khi b  3 . 674 min P  66 khi 2 3 a b      . Cách 2: Áp : " *; % Cô si cho n = quát ta có 2 a  4  4a và   3 4 4 4 4 4 4 3 4 b  b  b  3  4. b .3 12b suy ra 4 3 3b  8112b hay 4 3 b  27  4b Do *) 2 4 3 a  b  31 4a  4b 116 hay 2 4 P  a  b 19  66 /$ "2 34 ra A các BC trên là a  2 và b  3 . 674 min P  66 khi 2 3 a b      . Bài 2. ( Đề vào lớp 10 Bắc Giang 2023-2024) Cho các a,b,c ! mãn *E$ 5F a  b  c  3 . Tìm giá DG ! "#$ % A  3a  bc  3b  ac  3c  ab . Lời giải 6G *E$ 5F a  b  c  3 ta có 3a  bc  a(a  b  c)  bc  (a  b)(a  c) Áp : BC Cô-si ta có : 2 3 ( )( ) 2 2 a b a c a b c a bc a b a c            ta có 2 3 2 a b c b ca     và 2 3 2 a b c c ab     Suy ra 4( ) 2( ) 6 2 a b c A a b c       
/$ "2 34 ra khi 3 1 a b c a b c a b b c c a                . 674 giá DG ! "#$ % A "2 6 khi a  b  c 1. Bài 3. ( Đề vào lớp 10 Bắc Ninh 2023-2024) Cho các không âm x , y , z ! mãn *E$ 5F 2 2 x  y 8x 8y  64z  0 . % minh 2 3 x y z xyz    . Lời giải M 2 2 x  y 8x 8y  64z  0   2 2  x  y  72z  8x  8y  8z  0   2 2  x  y  72z  8 x  y  z hay 2 2 72 8 x y z x y z      Áp : " *; % AM-GM, ta có:  2 2 x  y  2xy  2xy  72z  2 2xy 72z  24 xyz Do *)( 2 2 x  y  72z  2xy  72z  24 xyz 2 2 72 3 8 x y z xyz      x  y  z  3 xyz hay 3 x y z xyz    /$ "" 34 ra khi x  y  z  0 Q 72 17 144 289 x y z         674 " *; % * R % minh. Bài 4. ( Đề vào lớp 10 Bến Tre 2023-2024) Cho các a,b !( 2 2 a  b 14a 12b  85  0 . Tính giá ! "#$ % B  3a  2b . Lời giải 2 2 a  b 14a 12b  85  0     2 2 2 2 14 49 12 36 0 7 6 0 a a b b a b             Vì   2 a  7  0 ?G a ;   2 b  6  0 ?G b 7 0 7 6 0 6 a a b b               
Do *) B  3a  2b  3.7  2.6  9 674 B  9 Bài 5. ( Đề vào lớp 10 Bình Định 2023-2024) Cho các a,b,c thõa a  b  c  2024. Tìm giá DG ! "#$ % . 2024 2024 2024 a b c P a a bc b b ca c c ab          Lời giải Cách 1: Ta có: 2 ( ( )( ) ) 2024 ( ) ( )( ) ( ( )( )) ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) ( )( ) a a a a a b a c a a a bc a a b c a bc a a b a c a a b a c a b a c a a a b a c a a a b a c a a b a c a ab bc ac                                    Áp : B *; % Cô-si cho hai a  b và a  c , ta có : 2 ( )( ) 2 2 a b a c a b c a b a c          Do *)( 2 ( ( )( ) ) 2 2024 2( ) a b c a a a a a b a c a ab ac a a bc ab bc ac ab bc ac ab bc ac                         ( 2024 2( ) b bc ab b b ca ab bc ac       2024 2( ) c ac bc c c ab ab bc ac       M (1), (2) và (3) suy ra: 2( ) P 1 2( ) ab bc ca ab bc ca       /$ "=" 34 ra khi 2024 2024 3 a b c a b c a b c             674 GTLN ! P là 1 khi 2024 3 a  b  c  Cách 2: Ta có 2024a 2 bc  (a  b  c)a  bc  a  ab  ac  bc  (a  b)(a  c) ( 2024b  ca  (b  c)(b  a) 2024c  ab  (c  a)(c  b)
Do *) a b c P a (a b)(a c) b (a b)(a c) c (a c)(b c)             Áp : " *; % Bunhiacopski ta có:     2 2 2 2 (a  b)(c  a)  ( a)  ( b)  ( c)  ( a)  ac  ab Suy ra ( )( ) a a a a a b a c a ac ab a b c          ; ( )( ) ( )( ) b b c c b a b a c a b c c a c b c a b c             Do *) a b c P 1 a b c       /$ "=" 34 ra 2024 2024 3 a b c a b c a b c              . Bài 6. ( Đề vào lớp 10 Đà Nẵng 2023-2024) Cho các a,b,c thay *= và mãn *E$ 5F a  9b  6c  2023. Tìm giá DG ! "#$ %( 2 2 2 2 2 2 P  3a  63ab  243b  243b  378bc 108c  108c  42ca  3a . Lời giải Ta có:       2 2 2 2 2 13 1 13 3 63 243 9 9 9 4 4 4 a  ab  b  a  b  a  b  a  b     2 2 2 13 13 3 63 243 9 9 4 2  a  ab  b  a  b  a  b , $ "  " 34 ra khi a  9b ta có:   2 2 13 243 378 108 9 6 2 b  bc  c  b  c , $ "  " 34 ra khi 9b  6c ;   2 2 13 108 42 3 6 2 c  ca  a  c  a , $ "  " 34 ra khi 6c  a     13 9 9 6 6 13 9 6 2023 13 2  P  a  b  b  c  c  a  a  b  c  674 max P  2023 13 khi 2023 2023 2023 , , 3 27 18 a  b  c  Bài 7. ( Đề vào lớp 10 Hà Nam 2023-2024) Cho a,b,c là các không âm ! mãn a  b  c 1011. % minh: