Title 6 bài TLN- Một số bài toán tối ưu đơn giản.pdf ✅

Dạng 2: Một số bài toán tối ưu đơn giản Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:  Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.  Bước 2: Chọn một đại lượng thich hợp nào đó, kí hiệu là x , và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x . Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x . Tìm tập xác định của hàm số Q Q x =    Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q Q x =   bằng các phương pháp đã biết và kết luận. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1: Cắt một đoạn dây dài 60m thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích 1 S , đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích 2 S (như hình vẽ dưới) Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng T S S = +1 2 là bao nhiêu? Câu 2: Cắt một đoạn dây dài 30m thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một đường tròn có diện tích 1 S , đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích 2 S (như hình vẽ dưới) Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng T S S = +1 2 là bao nhiêu? Câu 3: Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48 và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi h là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết m h n = với m , n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng m n + bằng bao nhiêu? Câu 4: Một tấm bìa hình vuông có diện tích 2 900cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm bìa đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm rồi gập tấm bìa lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm thể tích lớn nhất mà hình hộp chữ nhật có thể thu được?
Câu 5: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (hình vẽ dưới). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối vối ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào. Câu 6: Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết a = 24 và b = 3 . Hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu? -----------------HẾT----------------- 24 cm
Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1: Cắt một đoạn dây dài 60m thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích 1 S , đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích 2 S (như hình vẽ dưới) Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng T S S = +1 2 là bao nhiêu? Lời giải Gọi độ dài đoạn dây gấp tam giác đều là x thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là 60 - x (mét) Khi đó 2 2 1 3 3 3 3 4 36 x a x x a a S = Û = Þ = = Mặt khác: 2 60 60 2 2 60 4 4 4 x x x b b S b - - æ ö - = Þ = Þ = = ç ÷ è ø Khi đó     2 2 2 1 2 9 4 3 1080 32400 3 60 36 4 144 x x x x S S f x + - + æ ö - + = + Û = ç ÷ è ø Dễ dàng tính được       2 1 2 min 540 min 97,87 m 9 4 3 S S f x f æ ö + = = » ç ÷ è ø + . Câu 2: Cắt một đoạn dây dài 30m thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một đường tròn có diện tích 1 S , đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích 2 S (như hình vẽ dưới) Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng T S S = +1 2 là bao nhiêu? Lời giải Gọi độ dài đoạn dây gấp đường tròn là x thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là 30 - x (mét)
Khi đó 2 2 1 2 2 4 x x x a a S a p p p p = Û = Þ = = Mặt khác: 2 30 30 2 2 30 4 4 4 x x x b b S b - - æ ö - = Þ = Þ = = ç ÷ è ø Khi đó     2 2 2 1 2 30 4 60 900 4 4 16 x x x x S S f x p p p p p æ ö - + - + + = + Û = ç ÷ è ø Dễ dàng tính được       2 1 2 min 30 min 31,51 m 4 S S f x f p p æ ö + = = » ç ÷ è ø + . Câu 3: Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48 và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi h là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết m h n = với m , n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng m n + bằng bao nhiêu? Lời giải Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là 2x và x ( 0) x > . Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là: 2 2 2 V x h x h x h = Þ = Û = 2 . 2 . 48 . 24 Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là 3 , giá thành làm nắp hộp là 1nên giá thành làm hộp là   2 2 L x xh xh x = + + + 3 2 2 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta được: 2 L x xh xh = + + 3 8 9 9 3 2 3 8 .9 .9 x xh xh   2 3 2 = = 3 648 216 x h Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 8 9 24 x xh x h ìï = í ïî = 2 3 2 9 8 9 . 24 8 h x h ì = ï Þ í ï = î 3 8 3 x h ì = ï Þ í = ï î Vậy m = 8 , n = 3 và m n + =11.