Title Chuyên đề 18. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN.doc ✅

Chuyên đề 18. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN A. Kiến thức cần nhớ 1. Công thức tính độ dài đường tròn “Độ dài đường tròn” (còn gọi là “chu vi hình tròn”) được kí hiệu là C. Độ dài C của một đường tròn có bán kính R được tính theo công thức 2CR . Nếu gọi d là đường kính đường tròn ( 2dR ) thì Cd . 2. Công thức tính độ dài cung tròn Trên đường tròn bán kính R. độ dài l của một cung tròn 0 n được tính theo công thức 180 Rn l  3. Công thức tính diện tích hình tròn Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức: 2 SR 4. Cách tính diện tích hình quạt tròn. Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n được tính theo công thức 2 360 Rn S  . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O;2cm) và (O';1cm) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại M, cắt đường tròn (O') tại N. Xét các cung nhỏ của hai đường tròn, chứng minh rằng: độ dài của cung AM gấp đôi độ dài của cung AN. Giải Tìm cách giải. Dựa vào công thức tính độ dài cung, ta đã biết bán kính của mỗi đường tròn. Nên để tìm mối quan hệ giữa độ dài các cung, ta tìm mối quan hệ giữa góc ở tâm. Luôn nhớ rằng đường tròn (O) và (O') tiếp xúc tại A thì ba điểm O, A, O’ thẳng hàng nên  'OAMOAN suy ra được  'AOMOAN . Vậy sử dụng công thức tính độ dài cung AM, cung AN từ đó ta có điều phải chứng minh. Trình bày lời giải OAM cân tại ;'OOAM cân tại 'O có  'OAMOAN nên  'AOMAON . Đặt  'AOMAONn Suy ra sđ  AM = sđ  ANn Độ dài của cung AM là:  .2.2 180180AM nn ℓ (1) Độ dài của cung AN là:  .1. 180180AN nn ℓ (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 AMANℓℓ Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn tâm O. Đường kính AB = 12cm. Gọi D là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Dựng hình bình hành ABCD. Tính diện tích phần tô đậm. Giải Tìm cách giải. ABCD là hình bình hành đã biết độ dài AB mà độ dài 1 2DOAB tính được, nên diện tích hình hình hành ABCD tính được. Dễ dàng nhận ra hình viên phân cung AB và hình viên phân cung BD có diện tích bằng nhau, do đó diện tích phần tô đậm bằng diện tích ABCD và bằng nửa diện tích hình bình hành ABCD.
Trình bày lời giải Dễ nhận thấy hai hình viên phân cung AD và cung BD có diện tích bằng nhau do đó diện tích phần tô đậm bằng điện tích BCDD Mà 21 .36 2BCDABDSSABODcm . Nên diện tích phần tô đậm là: 36 cm². Ví dụ 3. Trong hình vuông cạnh là l đơn vị được chọn ra 101 điểm. Chứng minh có 5 điểm trong các điểm nói trên có thể phủ bởi đường tròn bán kính 1 7 . Giải Tìm cách giải. Đây là dạng toán nguyên lý Đi-ric-lê hình học. Nguyên lý được phát biểu đơn giản như sau: Cho m chú thỏ được nhốt vào n lồng ( :mnk và còn dư) thì tồn tại một lồng có ít nhất 1k chú thỏ. Phân tích đề bài, chúng ta thấy đã cho 101 điểm (tức là thỏ) và chứng minh có 5 điểm (tức thỏ) thuộc cùng một đường tròn bán kính 1 7 (thuộc cùng một lồng), do vậy ta cần xác định số lồng. Để xác định số “lồng” ta làm như sau: lấy 514 , sau đó 101:425 và dư 1, nên ta chia thành 25 “lồng”. Trình bày lời giải Chia hình tròn thành 25 ô vuông có cạnh là 1 5 . Ta có 104:254 dư 1. Theo nguyên lí Đi-ric-lê, tồn tại ít nhất 5 điểm cùng thuộc một ô vuông cạnh 1 5 . Ô vuông này có đường chéo là 12 2 55 . Bán kính hình tròn ngoại tiếp hình vuông nhỏ là: 21111 :2 57525049 Suy ra ô vuông này nằm trong hình tròn có bán kính 1 7 có tâm là ô vuông ấy. Vậy hình tròn chứa ít nhất 5 điểm đã cho. Ví dụ 4. Trong hình vuông cạnh là l, người ta đặt một số đường tròn mà tổng độ dài của chúng là 10. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được một đường thẳng cắt ít nhất 4 trong các đường tròn nói trên. Giải Tìm cách giải. Bài này cần chứng minh hai ý: -Ý thứ nhất: Chứng minh tồn tại ít nhất 4 đường tròn. Để chứng minh ý này ta dựa vào tổng độ dài của chúng là 10, từ đây có thể suy ra tổng các đường kính (mỗi đường tròn lấy một đường kính). Nếu các đường kính này song song với một cạnh hình vuông, tổng độ dài của chúng lớn hơn 3 lần cạnh hình vuông thì phải có ít nhất 4 đường kính, suy ra ít nhất 4 đường tròn. - Ý thứ hai: Chứng minh tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 4 đường tròn. Ý này không khó bởi: nếu bốn đường kính này song song với một cạnh hình vuông và bốn hình chiếu trên cạnh hình vuông của chúng có một điểm chung thì đường thẳng vuông góc với hình chiếu tại điểm chung đó cắt 4 đường tròn. Trình bày lời giải Kẻ các đường kính của các đường tròn song song với cạnh AB của hình vuông rồi chiếu các đường kính đó lên cạnh AB. Các hình chiếu đều nằm trọn trong AB. Tổng các đường kính là 10  nên tổng các hình chiếu là 1010 33.AB  (vì AB = 1) mà mỗi đường kính AB nên tồn tại ít nhất 4 đường tròn. Tổng các hình chiếu này 10 3AB  nên tồn tại một điểm của AB thuộc ít nhất 4 hình chiếu. Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm đó là đường thẳng phải tìm.
C. Bài tập vận dụng 18.1. Cho một đường tròn (O;R) . Hai tiếp tuyến tại A, B cắt nhau tại M tạo với nhau một góc 60 . a) Tính độ dài cung lớn AB theo R. b) Tìm diện tích hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung nhỏ AB. 18.2. Cho đường tròn (O;R) . a) Tính góc AOB nếu biết độ dài cung nhỏ AB bằng 5 6 R ; b) Xác định điểm C trên cung lớn AB sao cho khi kẻ CHAB tại thì AHCH ; c) Tính độ dài các cung AC, BC; d) Tính chu vi, diện tích ABC. 18.3. Lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường tròn (O) sao cho sđ  60AB , sđ 90BC ; sđ  120CD . a) Tứ giác ABCD là hình gì? b) Tính độ dài đường tròn (O). Biết diện tích tứ giác ABCD bằng 100 m 2 . 18.4. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy A; B; C làm tâm dựng ba đường tròn với cùng bán kính là a. Hãy tính diện tích phần chung của cả 3 đường tròn. 18.5. Cho hình vuông ABCD có cạnh là 3 cm. Tính diện tích phần chung của bốn hình tròn có tâm lần lượt là các điểm A, B, C, D và có cùng bán kính 3 cm. 18.6. Bên trong một hình chữ nhật kích thước 1020 có 151 điểm. Chứng minh rằng tồn tại bốn trong các điểm đó nằm hoàn toàn trong một đường tròn có bán kính 1,5. 18.7. Trong hình vuông cạnh là l, người ta đặt một số đường tròn mà tổng độ dài của chúng là 2020. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được một đường thẳng cắt ít nhất 632 trong các đường tròn nói trên. 18.8. Cho ABCD là hình chữ nhật với AB = 10 cm. Vẽ đường tròn (O), (O’) với đường kính AB và CD. Gọi P và Q là giao điểm của (O), (O’). Biết rằng đường tròn đường kính PQ tiếp xúc với AB và CD. Tính diện tích phần chung của hai đường tròn (O), (O’). 18.9. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 5 cm và đường chéo AC = 8 cm. Đường tròn tâm A bán kính R = 5 cm tiếp xúc với đường tròn tâm C tại M thuộc đoạn AC. Đường tròn này cắt CB tại E và cắt CD tại F. Tính tỉ số độ dài của cung  BD và cung  EF . 18.10. Ba đường tròn 1122(O;R),(O;R),(O;R) với 12RRR , tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một, đồng thời tiếp xúc với một đường thẳng. Gọi 12,,SSS lần lượt là diện tích của hình tròn 1122(O;R),(O;R),(O;R) . Chứng minh rằng: 444 12 111 SSS (Thi Học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2007 - 2008) 18.11. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O), Tiếp tuyến tại điểm M tùy ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD . b) Cho 8AB cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính diện tích của phần tứ giác nằm ngoài (O). (Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Bình Thuận năm học 2008-2009) 18.12. Cho đường tròn tâm O, cung AB bằng 120 . Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và tại B cắt nhau ở C. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CB và cung AB nói trên. So sánh độ dài của đường tròn (I) với độ dài cung AB của đường tròn (O) 18.13. Cho đường tròn có bán kính bằng 3. Người ta tô đỏ một số cung của hình tròn, tổng độ dài các cung được tô bằng 9. Có tồn tại hay không một đường kính của đường tròn mà hai đầu không bị tô mầu? 18.14. Trong một hình tròn có bán kính 20 có thể đặt được 500 điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lớn hơn 2 không? 18.15. Một hình vuông và một tam giác đều cùng nội tiếp trong đường tròn (O;l) sao cho một cạnh của tam giác song song với một cạnh của hình vuông. Tính diện tích phần chung của tam giác và hình vuông.
18.16. Đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC. Qua O kẻ đường thẳng cắt hai cạnh AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 22 CMNSr . 18.17. Đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Đặt AD = x, BE = y, CF = z. Chứng minh rằng: a) ABCSxyzxyz b) 3 3ABCSxyyzzx 18.18. Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp được trong các đường tròn. Chứng minh rằng: ... ABCDSABBCCDDA . HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 18.1. a) Tứ giác OAMB có  60;90AMBAB nên:  360909060120AOB  số đo cung nhỏ AB là 120 .  số đo cung lớn AB là 360120240 . Độ dài cung lớn AB là 2404 1803 RR ℓ b) Ta có 1 60 2MOAMOBAOB  .tan.3MAOAMOAR  Diện tích tứ giác MAOB là: 21 2.2..3 2MAOBMAOSSMAAOR Diện tích hình quạt OAB là: 22 120 3603q RR S  Vậy diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung nhỏ AB là: 2 3 3MAOBqSSSR    18.2. a) Đặt số đo AOBn sđ 5 150150 1806 RnR ABnnAOB   b) CHAB và AHCH suy ra CHA vuông cân tại H  45BAC sđ 90BC c) sđ 36015090AC sđ 120AC - Độ dài cung AC là  1202 1803AC RR ℓ ; - Độ dài cung BC là  90 1802BC RR ℓ ; d) Kẻ 1 75 2OKAHBOKAOB .sin750,966.1,932BKOBRABR - Ta có sđ 1203ACACR - Ta có .sin451,225.CHACR Do vậy diện tích ABC là 21 .2,367 2SABCHR