Title Chương 1_Bài 4.1_ _Lời giải_Phần 1.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 2025-2026 1 BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số: - Tính đạo hàm y¢ . Tìm các điểm tại đó y¢ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. - Xét dấu y¢ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số. - Tìm cực trị của hàm số. -Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có). - Lập bảng biến thiên của hàm số. 3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên. Chú ý. Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tim giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục). 2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA Trong mục này, ta sử dụng sơ đồ tổng quát ở Mục 1 để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba. Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 y x x = - + - 3 4 . Lời giải 1. Tập xác định của hàm số: ¡ . 2. Sự biến thiên: - Ta có: 2 y x x ¢ = - + 3 6 . Vây y¢ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2 . - Trên khoảng (0;2), 0 y¢ > nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng ( ;0) -¥ và (2; ) +¥ , y¢ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. - Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , giá trị cực tiểu 4 CT y = - . Hàm số đạt cực đại tại x = 2 , giá trị cực đại 0 CD y = . - Giới hạn tại vô cực: 3 3 3 3 3 4 3 4 lim lim 1 ; lim lim 1 x x x x y x y x ®-¥ ®-¥ ®+¥ ®+¥ x x x x æ ö æ ö = - + - = +¥ = - + - = -¥ ç ÷ ç ÷ è ø è ø . - Bảng biến thiên:
BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 2025-2026 2 3. Đồ thị (H.1.28): - Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 4) - . - Ta có 3 2 2 y x x x x x = Û - + - = Û - - + = Û = - 0 3 4 0 ( 2) ( 1) 0 1 hoặc x = 2 . Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm ( 1;0) - và (2;0). - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 2) - . Chú ý. Đồ thị của hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d a = + + + 1 ( 0) : - Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ thoả mãn y¢¢ = 0 , hay 3 b x a = - . - Không có tiệm cận. Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 y x x x = - + - 2 2 1. Lời giải 1. Tập xác định của hàm số: ¡ . 2. Sự biến thiên: - Ta có: 2 y x x ¢ = - + 3 4 2 . Vây y¢ > 0 với mọi xΡ . - Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) -¥ +¥ . - Hàm số không có cực trị. - Giới hạn tại vô cực: 3 2 3 2 2 1 lim lim 1 x x y x ®-¥ ®-¥ x x x æ ö = - + - = -¥ ç ÷ è ø ; 3 2 3 2 2 1 lim lim 1 . x x y x ®+¥ ®+¥ x x x æ ö = - + - = +¥ ç ÷ è ø - Bảng biến thiên: 3. Đồ thị (H.1.29):
BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 2025-2026 3 - Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 1) - . - Ta có 3 2 y x x x = Û - + - = 0 2 2 1 0   2 Û - - + = Û = ( 1) 1 0 1. x x x x Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (1;0). - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm 2 7 ; 3 27 æ ö - ç ÷ è ø . 3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỐ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ Trong mục này, ta sử dụng sơ đồ tổng quát ở Mục 1 để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ đơn giản. a) Hàm số phân thức ( 0, 0) ax b y c ad bc cx d + = 1 - 1 + Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 2 x y x + = - . Lời giải 1. Tập xác định của hàm số: ¡\{2}. 2. Sự biến thiên: - Ta có: 2 3 0 ( 2) y x ¢ = - < - với mọi x 1 2 . - Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ( ;2) -¥ và (2; ) +¥ . - Hàm số không có cực trị. - Tiệm cận: 2 2 2 2 1 1 lim lim ; lim lim ; x x x x 2 2 x x y y x x ® ® ® ® - - + - + + = = -¥ = = +¥ - - 1 1 lim lim 1; lim lim 1. x x x x 2 2 x x y y ®+¥ ®+¥ ®-¥ ®-¥ x x + + = = = = - - Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 , tiệm cận ngang là đường thẳng y =1. - Bảng biến thiên:
BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 2025-2026 4 3. Đồ thị (H.1.30): - Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điẻm 1 0; 2 æ ö ç ÷ - è ø. - Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm ( 1;0) - . - Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng. Chú ý. Đồ thị của hàm số phân thức ( 0, 0) ax b y c ad bc cx d + = 1 - 1 + : - Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng; - Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng. b) Hàm số phân thức 2 ( 0, 0 ax bx c y a p px q + + = 1 1 + , đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 2 1 2 x x y x- - = - . Lời giải 1. Tập xác định của hàm số: ¡\{2}. 2. Sự biến thiên: Viết 1 1 2 y x x = + + - . - Ta có: 2 2 2 1 4 3 1 ( 2) ( 2) x x y x x - + ¢ = - = - - . Vậy 2 2 4 3 0 0 1 ( 2) x x y x x - + ¢ = Û = Û = - hoặc x = 3. - Trên các khoảng ( ;1) -¥ và (3; ) +¥ , y¢ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng (1;2) và (2;3), 0 y¢ < nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này. - Hàm số đạt cực đại tại x =1 với 1 CÐ y = ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với 5 CT y = .