Title Chuyên đề 21 . HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.doc ✅

Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Chuyên đề 21 A. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 22 22 xxyy1 xxy2y4     (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2014-2015) Giải  Xét x0 ta có hệ 2 2 y1 y2     hệ vô nghiệm  Xét y0 ta có hệ 2 2 x1 x4     hệ vô nghiệm  Vậy x;y khác 0 đặt xty;t0 Ta có hệ   22 2222 222222 ytt11tytyy1 tyty2y4ytt24       (*) Vì mỗi vế hệ (*) khác 0 ta chia 2 vế hệ (*) cho nhau ta được : 2 222 2 tt11 4t4t4tt23t5t20 4tt2     t1 t13t202 t 3       Với t1xy thay vào hệ (*) ta được : 2 2 y1 4y4     giải ra ta có nghiệm x;y1;1;1;1  Với 22 txy 33 thay vào hệ (*) ta được: 2222 2222 427 yyy1y1 939 4228 yy2y4y4 939         Giải ra ta có nghiệm 277277x;y;;; 9393      Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : 277277x;y1;1;1;1;;;; 9393      Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai . Ngoài cách giải trên , chúng ta còn có thể đồng nhất hai phương trình , bằng cách nhân phương trình (1) với 4 rồi vế trừ vế . Ta được phương trình: 22 3x5xy2y0 , sau đó phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 22 22 xyxy8 xyxy7     (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh An Giang , năm học 2008-2009) Giải Đặt xyu;xyv hệ phương trình có dạng :   2 2 u2vu81 uv72     
Từ phương trình (2) ta có : 2vu7 thay vào phương trình (1) ta được: 222u2u7u8uu60 . Giải ra ta được 12u2;u3  Trường hợp 1. Xét u2 suy ra 2v273 Ta được : xy2 xy3     . Suy ra x,y là nghiệm của phương trình 2 X2X30 . Giải ra ta được : 12X1;X3 Do đó nghiệm của hệ phương trình là : x1x3 ; y3y1      Trường hợp 2 . 2u3;v372 , ta được xy3 xy2     Suy ra x;y là nghiệm của phương trình : 2X3X20 Giải ra ta được 12 317317 X;X 22   Do đó nghiệm của hệ phương trình là : 317317 xx 22 ; 317317 yy 22         Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 317317317317x;y1;3;3;1;;;; 2222      Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại một . Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ phương trình nếu đổi vai trò của ẩn cho nhau thì mỗi phương trình không thay đổi . Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta thường đặt ẩn phụ xyu;xyv . Sau đó giải hệ phương trình này. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình :   32 32 x12xxy1 y12yyx2      (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Tiền Giang , năm học 2011-2012) Giải Từ phương trình (1) và (2) vế trừ vế ta được: 332222xy2xy4xyxyxxyy2xy40 Ta có : 22xxyy2xy40   22 3xyxy 2xy40 4   223xyxy8xy160 2222xy8xy8xyxy80 2222xy2xyxy80 Phương trình vô nghiệm , nên xy0 , thay vào phương trình (1) ta được: 32322x12xx2x10x1xx10  Trường hợp 1: x10x1  Trường hợp 2: x10x1 Giải ra ta được 12 1515 x;x 22   Vậy tập nghiệm của phương trình là :
15151515x;y1;1;;;; 2222      Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại hai . Hệ phương trình đối xứng loại hai là hệ phương trình nếu đổi vai trò của ẩn cho nhau thì phương trình này thành phương trình kia và ngược lại . Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta lấy vế trừ vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử phương trình vừa nhận được . Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 22 2 xxy2y0 xy3yx3     (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tình Hải Dương , năm học 2011-2012) Giải Tìm cách giải . Quan sát kỹ mỗi phương trình, ta nhận thấy phương trình thứ nhất, vế trái phân tích đa thức thành nhân tử được . Từ đó chúng ta có thể đưa về hệ phương trình tích : A0 C0A.B0 C0B0 C0            Các nghiệm của hai hệ phương trình sau là nghiệm của hệ phương trình đã cho Trình bày lời giải 22 222 xyx2y0xy0xxy2y0 xy3yx0xy3yx3xy3yx3      hoặc 2 x2y0 xy3yx3      Giải hệ 222 xy0xy xy3yx3x3xx3     2 3 x xyx1 4 ; y134xx30 y 4           Giải hệ 222 x2y0x2y xy3yx32y3y2y3     2 x2yx2x6 ; y1y3y2y30     Vậy nghiệm của phương trình là : 33x;y1;1;;;2;1;6;3 44     Ví dụ 5:Giải hệ phương trình 22 2222 xy2x2y11 xy2xy2xy4xy24     (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Quảng Ngãi , năm học 2012-2013) Giải Tìm cách giải. Hệ phương trình này là hệ phương trình đối xứng loại một nên chúng ta có thể giải như ví dụ 2. Tuy nhiên chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình hai phân tích thành nhân tử được mà tổng hai nhân tử chính là vế trái của phương trfinh thứu nhất . Nên chúng ta dùng cách đặt ẩn phụ khác cho lời giả ngắn gọn và hay hơn Trình bày lời giải
  22 22 222222 x2xy2y11xy2x2y11 xy2xy2xy4xy24x2xy2y24       Đặt : 22 x2xu,y2yv . Hệ phương trình có dạng : uv11 uv24     . Suy ra u,v là nghiệm của phương trình: 2X11X240 Giải phương trình , ta được : 12X3,X8 Suy ra : u3u8 ; v8v3     Trườn hợp 1. Xét   2 2 22 x14u3x2x3x12 v8y13y2y8 y19       Suy ra nghiệm của phương trình : x;y1;2,1;4,3;2,3;4 Trường hợp 2 . Xét   2 2 22 x19u8x2x8x13 v3y12y2y3 y14       Suy ra nghiệm của phương trình : x;y2;1,2;3,4;1,4;3 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : x;y1;2,1;4,3;2,3;4,2;1,2;3,4;1,4;3 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình :  22 y3xx8y5 xx3yy813      (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Nam Định , năm học 2011-2012) Giải  2222 22 y3xx8y5y3xx8y5 xx3yy813y3xx8y13       Đặt 22y3xu;x8yvu0;v0 Hệ phương trình có dạng 2222 v5uuv5 uv13u5u13      2 v5uu2u3 ; v3v2u5u60      Trường hợp 1. Xét u2 v3     ta có   22 2 2 y3x41y3x2 x8y92x8y3       Từ phương trình (1) ta có 2 y4 x 3   thay vào phương trình (2) ta được : 2 2 42y4 8y9y8y72y650 3     y1y5y2y30  Với 2 14 y10y1x1 3    Với 254 y50y5x7 3  