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MECANIQUE QUANTIQUE FPN-NADOR 2019-2020 TD-SMP+ EXAMENS https://sites.google.com/site/saborpcmath/ COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE : MATH : CHIMIE : INFORMATIQUE Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 par whatsapp :06-02-49-49-25
46 Université Mohamed Premier Mécanique quantique Faculté Pluridisciplinaire de Nador Filières: SMP (S4), SMC (S4) Département de Physique Prof. : Saïd Ouannasser --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Travaux dirigés Série n°: 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice 1 : Cellule photo-électrique Une cellule photoélectrique comporte une cathode constituée d’une surface métallique dont l’énergie d’extraction est W0 = 2,8 eV. Un dispositif expérimental permet d’éclairer cette cathode par des radiations lumineuses afin de produire un courant photoélectron. Les longueurs d’ondes utilisées dans cette expérience sont:  (nm) 300 400 500 600 1. Rappeler la relation qui relie la fréquence  à la longueur d’onde  Calculer alors les fréquences des différents rayonnements utilisés (Présenter les résultats sous forme d’un tableau). 2. Déterminer la fréquence 0 du seuil photoélectrique. Parmi les quatre longueurs d’ondes utilisées, quelles sont celles susceptibles d’arracher des électrons à la plaque métallique. Justifier votre réponse. 3. Ecrire l’équation d’Einstein reliant l’énergie cinétique Ec des électrons extraits du métal, la fréquence  de la lumière utilisée et le travail d’extraction W0 . Quelle est la nature de la courbe Ec = f() ? Quelle est la grandeur principale qu’on puisse obtenir à partir de cette courbe ? 4. Soit v la vitesse des photoélectrons. Déterminer l’expression de v en fonction de , 0 , la constante de Planck h et la masse m de l’électron. Calculer v pour les radiations dont l’effet photoélectrique est satisfait. Données: m = 9,1.10 31 kg; c = 3.108 m.s1 ; h ≈ 6,6262.10 34 j.s ; 1 eV = 1,6.1019 j
47 Exercice 2 : Modèle de Bohr et le spectre atomique Au début du 20ème siècle, Bohr a proposé un modèle permettant de prévoir les longueurs d’onde présentes dans la lumière émise par l’hydrogène, et plus généralement par un hydrogénoïde (He+, Li++, etc). Celui-ci est composé d’un noyau de masse M et de charge Ze (positive), autour duquel gravite un seul électron de masse m et de charge  e (négative). Pour une orbite circulaire de rayon r, l’électron tourne à vitesse v constante autour du noyau et il est soumis au potentiel coulombien r Ze V r 0 2 4 ( )    . L’hypothèse fondamentale de Bohr est que la norme du moment cinétique L = mvr de l’électron est quantifiée: L  n , avec 2 h   et n un entier naturel 1. Ecrire la loi fondamentale de la dynamique pour l’électron, et en déduire une relation entre le rayon r de l’orbite circulaire et la vitesse v de l’électron. 2. En utilisant l’hypothèse de Bohr, montrer que le rayon de la trajectoire de l’électron est lui aussi quantifié et que son expression est donnée par : Z a rn n 2 0  où a0 est appelé rayon de Bohr. Déterminer l’expression puis la valeur de a0 . 3. Montrer que l’expression de l’énergie total de l’électron peut se mettre sous la forme: 2 2 n Z En  Ry Où Ry est la constante de Rydberg. Donner son expression puis calculer sa valeur. 4. On cherche à déterminer le spectre de l’atome d’hydrogène. Soit mn la longueur d’onde de la lumière lorsqu’un électron transite d’un niveau m vers un niveau n, ( mn ). a) Déterminer l’expression mn. b) Calculer les longueurs d’onde des raies spectrales correspondantes aux transitions suivantes: i) n = 1 (série de Lyman) ii) n = 2 (série de Balmer) iii) n = 3 (série de Paschen) c) Quelle série correspond au domaine visible ? Données: m = 9,1 1031 kg; e = 1,6 1019 C ; c = 3 108 m/s;   1,0545.1034 j.s
48 Université Mohamed Premier Mécanique quantique Faculté Pluridisciplinaire de Nador Filières: SMP (S4), SMC (S4) Département de Physique Prof. : Saïd Ouannasser --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Travaux dirigés Série n°: 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice 1: Particule dans une boîte unidimensionnelle Une particule de masse m et d’énergie E effectue un mouvement linéaire (direction x) dans une boîte de longueur L. On suppose que le potentiel à l’intérieur de cette boîte ( 0  x L ) est nul et que la particule ne peut pas se trouver à l’extérieur de l’intervalle 0,L. 1. On cherche à déterminer les fonctions propres (x) de l’hamiltonien H de la particule qui sont solutions de l’équation de Schrödinger stationnaire. a) Résoudre cette équation et montrer que les solutions sont de la forme: ikx ikx  ( ) x A e B e     ( A et B des constantes ) Donner l’expression du module du vecteur d’onde k. b) En utilisant les conditions aux limites fixes (   (0) ( ) 0   L ), montrer que le vecteur d’onde k est quantifié (dépend d’un entier n) et que les fonctions d’onde peuvent s’écrire sous la forme: ( ) sin( ) n n x C x L    Donner la constante C en fonction de A et B. 2. Ecrire la condition de normalisation des fonctions d’onde (ou condition de probabilité de présence de la particule à l’intérieur de la boîte) puis déterminer C en fonction de L. 3. Déterminer l’expression des niveaux d’énergie En puis celle de E = En+1 – En . 4. Le modèle de la particule dans une boîte est souvent utilisé pour estimer de façon approximative la longueur L d’une molécule donnée. Pour une transition du niveau n = 2 vers le niveau n = 1, la variation d’énergie est estimée à E = 1,1 eV. Calculer la longueur L de la molécule en Angström. On donne: m = 9,1.1031 kg ; h = 6,62.1034j.s