Title Toán thực tế 9_Chuyên đề 1_Phương trình quy về phương trình bậc nhất_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Phương trình tích có dạng (ax b cx d a c + + =   )( ) 0 0, 0 ( ) Để giải phương trình tích (ax b cx d + + = )( ) 0 với a  0 và c  0 , ta có thể làm như sau: Bước 1. Giải hai phương trình bậc nhất: ax b + = 0 và cx d + = 0 Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phương trình. Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta có thể làm như sau: Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được ở Bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. B. CÂU TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60 km. Sau đó 1 giờ, trên cùng quãng đường đó, một xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 2 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 4 lần tốc độ của xe đạp. Lời giải Gọi x( km / h) là tốc độ của xe đạp (x 0)  . Tốc độ của xe máy là 4x(km / h) . Thời gian xe đạp đi từ A đến B là 60 x (giờ). Thời gian xe máy đi từ A đến B là 60 4x (giờ). Ta có phương trình: 60 60 3 x x4 − = 60 4 60 3 4  − =  x 12 180 x = x =15 (thoả mãn). Vậy tốc độ của xe đạp là 15 km / h , tốc độ của xe máy là 60 km / h . Câu 2: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số 9 đơn vị. Nếu thêm tử số 1 đơn vị và thêm mẫu số 2 đơn vị thì được phân số mới bằng 1 3 . Tìm phân số đã cho. Lời giải Gọi x là tử số của phân số đã cho ( x và x −9 ). Mẫu số của phân số là x +9. Nếu thêm tử số 1 đơn vị và thêm mẫu số 2 đơn vị ta có phương trình: 1 1 11 3 x x + = + Giải phương trình, ta được x = 4 (thoả mãn).
Vậy tử số là 4, mẫu số là 4 9 13 + = . Phân số phải tìm là 4 13 . Câu 3: Một vòi nước chảy vào một bể không có nước. Cùng lúc đó một vòi khác chảy từ bể ra mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng 4 5 lượng nước chảy vào. Sau 5 giờ nước trong bể đạt 1 8 dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước mà chỉ mở vòi chảy vào thì sau bao lâu đầy bể? Lời giải Gọi x (giờ) là thời gian vòi chảy vào đầy bể ( 0) x  . Trong 1 giờ vòi chảy được 1 x bể. Lượng nước chảy ra trong 1 giờ là 4 5x bể. Ta có phương trình: 1 4 1 5. x 5x 8     − =   . Giải phương trình, ta được x = 8 (thoả mãn). Vậy nếu bể không có nước mà chỉ mở vòi chảy vào thì sẽ đầy bể trong 8 giờ. Câu 4: Một nhóm thợ đóng giày dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6 đôi giày, do đó chẳng những nhóm thợ đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 đôi giày. Tính số đôi giày nhóm thợ phải làm theo kế hoạch. Lời giải Gọi x là số đôi giày mà nhóm thợ đóng được mỗi ngày theo kế hoạch ( ) * x . Số đôi giày đóng được theo kế hoạch là 26x (đôi giày). Số đôi giày mỗi ngày đóng được thực tế là x + 6 (đôi giày). Tổng số đôi giãy đóng được thực tế 26 104 x + (đôi giày). Vìnhóm thợ hoàn thành công việc trong 24 ngày nên ta có phương trình: 26 104 24 6 x x + = + Giải phương trình, ta được x 20 = (thoả mãn). Vậy số đôi giày phải đóng theo kế hoạch là 26.20 520 = (đôi giày). Câu 5: Một người dự định đi bằng ô tô trên quãng đường AB dài 120 km trong một thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu xe đi vào đường cao tốc với tốc độ hơn dự định 15 km / h . Sau khi ra khỏi đường cao tốc, trên nửa quãng đường còn lại, xe đi với tốc độ chậm hơn dự định 10 km / h . Biết ô tô đến đúng giờ dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB của người đó. Lời giải Gọi x(km / h) là tốc độ ô tô dự định đi quãng đường AB(x 0)  . Xe đi nửa quãng đường đầu với tốc độ là x +15( km / h). Xe đi nửa quãng đường sau với tốc độ là x −10( km / h). Theo đề ra ta có phương trình: 120 60 60 x x x 15 10 = + + − . Giải phương trình, ta được x = 60 (thoả mãn). Vậy thời gian dự định đi quãng đường AB là 120: 60 2 = (giờ).
Câu 6: Một khu đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài hơn chiều rộng 16 m . Trên khu đất đó, người ta làm một mảnh vườn trồng hoa có dạng hình thoi ABCD với đường chéo AC bằng chiều rộng của khu đất và đường chéo BD bằng chiều dài của khu đất (Hình 1). Tính chiều dài của khu đất, Hinh 1 biết diện tích của phần đất còn lại là 2 96 m . Lời giải Gọi x ( m) là chiều dài của khu đất với x 16 . Khi đó, chiều rộng của khu đất là x −16 m( ) và mảnh vườn trồng hoa có AC x = −16 m( ) và BD x = ( m). Do đó, diện tích của khu đất là: ( ) ( ) 2 x x −16 m và diện tích của mảnh vườn trồng hoa là: ( ) ( ) 1 2 16 m 2 x x − . Vì diện tích của phần đất còn lại là 2 96 m nên ta có phương trình: ( ) ( ) 1 16 16 96 2 x x x x − − − = hay ( ) 1 16 96 2 x x − = . Tức là, 2 x x − − = 16 192 0 . Giải phương trình: 2 x x − − = 16 192 0 ( ) 2 x x − + − = 16 64 256 0 2 2 ( 8) 16 0 x − − = ( x x − + = 24 8 0 )( ) x = 24 hoặc x =−8 Do x 16 nên x = 24 . Vậy chiều dài của khu đất là 24 m . Câu 7: Một công nhân dự định làm 14 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhưng trên thực tế công ty đã giao 21 sản phẩm nên để hoàn thành đúng thời gian đã định, người đó phải làm mỗi giờ thêm 3 sản phẩm. Tính năng suất dự định của công nhân đó. Lời giải Gọi x (sản phẩm/giờ) là năng suất dự định của người công nhân đó với * x . Khi đó, năng suất thực tế của người đó là x +3 (sản phẩgiờ). Theo giả thiết, ta có phương trình: 14 21 x x 3 = + . Giải phương trình:
( ) ( ) ( ) ( ) ) * 14 21 3 14 3 21 3 3 14 3 21 14 42 21 7 42 6 (tho m a n . x x x x x x x x x x x x x x a x = + + = + + + = + = = =  Vậy năng suất dự định của người công nhân đó là 6 sản phẩm/giờ. Câu 8: Một ô tô đi quãng đường AB dài 61,5 km . Sau khi đi được 30 km với tốc độ không đổi, ô tô đi tiếp quãng đường còn lại với tốc độ tăng thêm 2 km / h . Tính tốc độ ban đầu của ô tô, biết thời gian ô tô đi trên 30 km đầu bằng thời gian ô tô đi trên 31,5 km còn lại. Lời giải Gọi x ( km / h) là tốc độ ban đầu của ô tô với x  0 . Ta lập được phương trình: 30 31,5 x x 2 = + . Giải phương trình, ta tìm được x = 40 (thoả mãn x  0 ). Vậy tốc độ ban đầu của ô tô là 40 km / h . Câu 9: Một ca nô đi xuôi đòng từ địa điểm A đến địa điểm B , rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm B trở về địa điểm A . Thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian ca nô đi ngược dòng chênh lệch nhau 40 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng. Biết rằng độ dài quãng đường AB là 24 km , tốc độ của dòng nước là 3 km / h và tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường. Lời giải Gọi x ( km / h) là tốc độ của ca nô khi nước yên lặng với x  3 . Ta lập được phương trình: 24 24 2 x x 3 3 3 − = − + . Giải phương trình, ta tìm được x =15 (thoả mãn x  3 ) hoặc x = −15 (không thoả mãn x  3 ). Vậy tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 15 km / h . Câu 10: Cho một phân số có mẫu số lớn hơn tử số là 2. Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì ta được một phân số mơi bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Lời giải Gọi x là tử số của phân số cần tìm với x và x x x  −   2; 0; 4 . Ta lập được phương trình: 3 2 2 6 x x x x − + = + − hay 3 2 4 x x x x − + = − . Giải phương trình, ta tìm được x = 8 (thoả mãn x và x x x  −   2; 0; 4 ). Vậy phân số cần tìm là 8 10 . Câu 11: Biết khối lượng riêng của kim loại A lớn hơn khối lượng riêng của kim loại B là 3 6,24 kg / m . Thể tích của 45 kg kim loại B bằng thể tích của 149 kg kim loại A . Tính khối lượng riêng của kim loại B . Lời giải