Title CHƯƠNG VII. NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG.doc ✅

CHƯƠNG VII NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG I. ĐỊNH LÝ THALES 1. Định lý Thales thuận: Nếu có một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. 2. Định lý Thales đảo: Nếu một đường thẳng cắt 2 cạnh của tam giác và định ra trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song sng song với cạnh còn lại của tam giác. (Chú ý nếu đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại ở phần kéo dài thì định lý vẫn đúng) 3. Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt 2 cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ 3 thì nó tạo thành một tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỷ lệ với ba cạnh tam giác đã cho.  AMAN MBNC  AMANMN ABACBC Chú ý: Định lý Thales cũng đúng cho hình thang: ////ABEFCD thì ,AEBFAEBF ADBCEDFC với ,.EADFBC 4. Một số kết quả, định lý quan trọng: a, Cho tam giác ABC có O là trung điểm BC . Một đường thẳng bất kỳ cắt cạnh ,,ABAOAC tại ,,MNP khi đó ta có: 2 .ABACAO AMAPAN Chứng minh: Dựng các đường thẳng qua ,BC song song với MP cắt AO lần lượt tại ,.HK Áp dụng định lý Thales ta có: ,ABAHACAK AMANAPAN cộng hai đẳng thức ta có: ABACAHAK AMANAN   . Để ý rằng: ,AHAOOHAKAOOK ANANANAN   . Mặt khác BOHCOK (g.c.g) suy ra OHOK nên 2ABACAHAKAOOKAOOKAO AMANANANAN   đpcm. b, Định lý: Van-Aubel: Điểm M nằm trong tam giác ABC , các đường thẳng ,,AMBMCM cắt cạnh đối diện tại ,,DEF thì .AMAFAE MDFBEC Giải:
Dựng đường thẳng qua A song song với BC cắt ,BECF lần lượt tại ,HK . Áp dụng định lý Thales ta có: ,AFAKAEAH FBBCECBC cộng hai đẳng thức ta có: AFAEKHMKMA FBECBCMCMD đpcm.
II. ĐỊNH LÝ MENELAUS 1. Định lý thuận Cho tam giác ABC và 3 điểm ,,MNP nằm trên đường thẳng chứa 3 cạnh ,,ABBCCA . Khi đó ,,MNP thẳng hàng khi và chỉ khi: ..1.MANBPC MBNCPA Chứng minh Dựng đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng chứa ,,MNP tại .Q Áp dụng định lý Thales ta có: ,MAQAPCNC MBBNPAQA Suy ra ....1MANBPCQANBNC MBNCPANBNCQA đpcm. 2. Định lý Menelaus đảo Nếu 3 điểm ,,MNP nằm trên đường thẳng chứa 3 cạnh ,,ABBCCA và ..1MANBPC MBNCPA thì ,,MNP thẳng hàng. Chứng minh: Giả sử đường thẳng NP cắt AB tại M . Theo định lý Thales thuận ta có: ..1.MANBPC MBNCPA    Kết hợp với ..1MANBPC MBNCPA ta suy ra MAMA MBMB    suy ra MM hay ,,MNP thẳng hàng. 3. Định lý Ceva: a, Định lý Ceva thuận: Ba đường thẳng đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC đồng quy hoặc cùng song song với nhau và cắt các cạnh ,,ABBCCA (hay đường kéo dài) lần lượt tại ,,MNP thì ta luôn có: ..1.AMNBPC MBNCPA b, Định lý Ceva đảo: Nếu ,,MNP lần lượt nằm trên các cạnh ,,ABBCCA (hay đường kéo dài) và thỏa mãn: ..1AMNBPC MBNCPA thì các đường thẳng ,,ANBPCM đồng quy hoặc song song với nhau. Chứng minh: Định lý Ceva: Giả sử đường thẳng qua A song song với BC cắt ,CMBP lần lượt tại ,.QR Theo định lý Thales ta có: ,MAQAPCCB MBBCPAAR . Suy ra .....MANBPCQANBCBQANB MBNCPABCNCARNCAR mặt khác ta cũng có: QAIAAR NCINBN nên ...1MANBPCARNB MBNCPABNAR đpcm.
Trường hợp: ////.ANBPCN Ta có: ,MACNPCBC MBBCPABN nên: ....1MANBPCCNNBBC MBNCPABCNCBN đpcm. Chứng minh: Định lý Ceva đảo: Giả sử BP cắt AN tại ,ICI cắt AB tại M . Theo định lý Ceva thuận: ..1MANBPC MBNCPA    kết hợp với giả thiết: ..1MANBPC MBNCPA ta suy ra MAMA MBMB    suy ra .MM Trường hợp: //ANBP ta dễ dàng có được kết quả ////.ANBPCN 4. Bổ đề hình thang Cho hình thang ABCD có hai đáy là ,ABCD khi đó trung điểm các cạnh đáy, giao điểm 2 đường chéo và giao điểm của 2 cạnh bên nằm trên một đường thẳng. Chứng minh: Giả sử các đường thẳng ,ADBC cắt nhau tại ,M ,ACBD cắt nhau tại ,P đường thẳng MP cắt ,ABCD lần lượt tại ,.NQ Ta chứng minh: ,NQ lần lượt là trung điểm của ,.ABCD Thật vậy: Do //ABCD theo định lý Thales ta có: ANNB QDQC (1), ANBN QCQD (2). Lấy (1) nhân với (2) ta có: 22 .. ANNB ANNB QCQDQCQD thay vào (1) ta có .QDQC Hay ,NQ lần lượt là trung điểm của ,.ABCD 5. Tính chất phân giác: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc A là AD và phân giác ngoài góc A là .AE Khi đó ta có: .ABDBEB ACDCEC MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm ,BC điểm N nằm trên cạnh AB sao cho 1 3ANAB , điểm Q nằm trên cạnh AC sao cho 2 3AQAC , đường thẳng QN cắt đường thẳng AM và BC lần lượt tại điểm ,.PR a, Tính ,.RBPA RCPM b, Một đường thẳng thay đổi cắt các cạnh ,ABAC tại ,EF sao cho 4.ABAC AEAF Chứng minh đường thẳng này luôn đi qua điểm cố định.