Title Đề Thi Olympic 30⁄4 Năm 2020-2021 (Khối 10) [Đáp Án].pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN - KHỐI: 10 THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận Đề thi có 01 trang Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi. - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. (3,0 điểm) Cho a b c , , là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 . Chứng minh 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3. 6 a b c abc a b b c c a            Câu 2. (4,0 điểm) Cho các số thực x y z , , thỏa mãn 2 2 2 1 1 1 1 1 1. x y y z z x               Chứng minh x y z   là số nguyên. Câu 3. (4,0 điểm) Với số nguyên dương n  2, xét bảng vuông gồm có 2 1 2 1 n n       ô vuông, người ta viết vào mỗi ô chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc 1 sao cho trong mỗi bảng con 2 2  luôn tìm được 3 ô có tổng bằng 0 . Gọi n S là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trong bảng. Chứng minh a. 2 S  5. b. 2 1. n S n n    Câu 4. (4,0 điểm) a. Chứng minh tồn tại 2 cặp số ( , ) a b với a , b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2 9 a b   3 7 . b. Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình 2 2 7 n x y xy    có nghiệm trong tập số nguyên không chia hết cho 7. Câu 5. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC  AB AC   nội tiếp đường tròn ( ). O Tia AO cắt đoạn thẳng BC tại L. Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC. Giả sử tiếp tuyến qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC  cắt các tia AB AC , lần lượt tại các điểm D E, . a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác A B D , ACE , AAL cùng đi qua một điểm khác A. b. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác JDE tiếp xúc với ( ). O HẾT Họ tên thí sinh: ..................................................................... SBD: ................................................... Trường: ................................................................................. Tỉnh/TP: .............................................

Trang 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG ĐÁP ÁN KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN 10 - THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận Đề thi có 01 trang Bài Nội dung Điểm 1 Cho a b c , , là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3. 6 a b c abc a b b c c a            3,0 Do a b c , , là độ dài ba cạnh tam giác nên 0 0 2 2 0 1             c a b c a b c c . Chứng minh tương tự, ta được 0 1, 0 1     a b . Đặt 2 2 2 2 2 2 A a b b c c a       . Ta có 2 2 2 A a b c a b c        6( ) 6( ) 2 3 . (1) 2,0 Nhận xét: Từ 0 , , 1   a b c suy ra   2 2 2 4 a b a b     . Ta có 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) . 2( ) 4 a b a b a b a b a b a b           Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có   2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 4 4 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 a b b c c a A a b b c c a a b c abc                  Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh. 1,0
Trang 4 Bài 2 Cho các số thực x y z , , thỏa mãn 2 2 2 1 1 1 1 1 1. x y y z z x               Chứng minh rằng x y z   là số nguyên. 4,0 Nhân theo vế các phương trình đã cho, ta được ( 1)( 1)( 1)[( 1)( 1)( 1) 1] 0 x y z x y z              1 1 1 1 1 1 1. x y z x y z                   Nếu x  1 thì y z   1, suy ra x y z     3  . Nếu y  1 hoặc z  1 làm tương tự. 1,0 Xét trường hợp  x y z      1 1 1 1 0    (*). Đặt p x y z q xy yz zx r xyz        , , ta có * 2 2          r p q r q p . (1) Cộng ba phương trình ban đầu theo vế ta được 2 2 2 2 x y z x y z p p q           6 6 2 . (2) 0,5 Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1. 2 x y x y y z y z z x z x                           Nhân các phương trình trên theo vế, ta được       2 2 xyz x y z r r p q          2 2 2 4 2 8. (3) 0,5 Thay (1) và (2) vào (3) ta được       2 2 q p q p p p p           2 2 4 6 8 2 2 2           q p pq q p p p q 4 2 4 4 2 4 2      q pq q p 2 3 6 0     q q p 3 2 0   3 2 . q q p        1,5 Nếu q  3 , thay vào (2) ta được 2 0 0 1. p p p p         Nếu q p  2 , thay vào 2 ta được 2 1 5 6 0 6. p p p p           Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có p x y z    là số nguyên. 0,5