Title Chương 4_Bài 12_ _Đề bài.pdf ✅

BÀI 2.TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN a) Diện tích hình thang cong Hình thang cong Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x = ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b = = < , ( ) , trong đó f x( ) là hàm liên tục không âm trên đoạn a b; , gọi là một hình thang cong. Ví dụ 1. Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong không? Định lí 1 Nếu hàm số f x( ) liên tục và không âm trên đoạn a b ; , thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y f x = ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a x b = = , là S F b F a = - ( ) ( ) , trong đó F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn a b ; . Ví dụ 2. Tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y f x x = = ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x x = = 1, 2 . b) Định nghĩa tích phân Cho f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn a b ; . Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn a b ;  thì hiệu số F b F a ( ) ( ) - được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x( ) , kí hiệu là ( )d b a f x x ò . Chú ý 1: Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến:   d d d .     b b b a a a f x x f t t f u u = = ò ò ò Chú ý 2: S
a) Hiệu F b F a ( ) ( ) - thường được kí hiệu là ( ) b a F x . Như vậy: ( )d   b b a a f x x F x = ò b) Ta gọi b ò a là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f x x ( )d là biểu thức dưới dấu tích phân và f x( ) là hàm số dưới dấu tích phân. c) Trong trường hợp a b = hoặc a b > , ta quy ước: ( ) 0; ( ) ( ) . a b a a a b f x dx f x dx f x dx = = - ò ò ò Ví dụ 3. Tính: a) 3 2 1 x x d -ò b) 6 0 cos t dt p ò c) 2 4 0 d cos u u p ò d) 2 1 2 xdx ò Từ Định lí 1 và định nghĩa tích phân, ta có Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f x( ) liên tục và không âm trên đoạn a ;b, thì tích phân ( )d b a f x x ò là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y f x = ( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b = . Vậy ( ) . b a S f x dx = ò Ví dụ 4. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a)   1 0 x x +1 d ò b) 1 2 1 1 x dx - - ò . 2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất của tích phân: Cho f x g x ( ), ( ) là các hàm số liên tục trên đoạn a ;b. Khi đó, ta có 1) ( )d ( )d b b a a k f x x k f x x = ò ò ; 2)     d b a é ù f x g x x + òë û  d   b b a a = + f x x g x dx ò ò ; 3)     d b a é ù f x g x x - òë û   d d   b b a a = - f x x g x x ò ò ; 4) ( )d ( )d ( )d ( ) b c b a a c f x x f x x f x x a c b = + < < ò ò ò .
Ví dụ 5. Tính: a)   4 3 1 x x dx + 3 ò b)   2 0 2cos x e x dx p - ò c) 4 2 1 3 2 x dx x æ ö ç ÷ - è ø ò Ví dụ 6. Tính 3 0 | 2 | x dx - ò . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 4.8. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) 2 1 (2 1) x dx + ò b) 3 2 3 9 x dx - - ò 4.9. Cho 3 0 f x x ( )d 5 = ò và 3 0 g x x ( )d 2 = ò . Tính: a)     3 0 é ù f x g x x + d òë û b)     3 0 é ù f x g x x - d òë û c) 3 0 3 ( )d f x x ò d)     3 0 é ù 2 3 d f x g x x - òë û . 4.10. Tính: a) 3 2 0 (3 1) x dx - ò b) 2 0 (1 sin ) x dx p + ò c)   1 2 2 0 3 x e x dx + ò d) 2 1 |2 1| x dx - + ò 4.11. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t là 2 v t t t ( ) 6( m / s) = - - . a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 4 £ £t , tức là tính 4 1 v t t ( )d ò . b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính   4 1 v t dt ò . 4.12. Giả sử lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức P x x ¢  = - + 0,0005 12, 2 . Ở đây P x( ) là lợi nhuận khi bán được x đơn vị sản phẩm. a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm. b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm. 4.13. Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hoá bởi công thức   2 2 v k R r = - , trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình của động mạch trong khoảng 0 £ £r R . So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Sử dụng các tính chất của tích phân 1. Phương pháp Cho f x g x ( ), ( ) là các hàm số liên tục trên đoạn a ;b. Khi đó, ta có 1) ( )d ( )d b b a a k f x x k f x x = ò ò ; 2)     d b a é ù f x g x x + òë û  d   b b a a = + f x x g x dx ò ò ; 3)     d b a é ù f x g x x - òë û   d d   b b a a = - f x x g x x ò ò ; 4) ( )d ( )d ( )d ( ) b c b a a c f x x f x x f x x a c b = + < < ò ò ò . 2. Ví dụ Ví dụ 1. Cho   2 1 f x xd 2 = - ò và   3 2 f x xd 1 = ò . Tính   3 1 f x xd ò Ví dụ 2. Cho   1 0 f x xd 4 = ò . Tính   1 0 2 d f x x ò Ví dụ 3. Biết   2 F x x = là một nguyên hàm của hàm số f x  trên ¡ . Tính giá trị của   2 1 é ù 2 d + f x x òë û Ví dụ 4. Biết   3 2 f x dx 4 = ò và   3 2 g x dx 1= ò . Tính     3 2 é ù f x g x dx - òë û Ví dụ 5. Biết   1 0 é ù f x 2x dx=2 + òë û . Tính   1 0 f x dx ò Ví dụ 6. Cho   2 2 f x xd 1 - = ò ,   4 2 f t t d 4 - = - ò . Tính   4 2 f y yd ò . Ví dụ 7. Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡ thoả mãn   8 1 f x xd 9 = ò ,   12 4 f x xd 3 = ò ,   8 4 f x xd 5 = ò . Tính   12 1 I f x x = d ò . Ví dụ 8. Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1;3 thoả:     3 1 é ù f x g x x + = 3 d 10 òë û ,     3 1 é ù 2 d 6 f x g x x - = òë û . Tính     3 1 é ù f x g x x + d òë û .