Title CHUYÊN ĐỀ 9. CÂU HỎI.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 PHẦN A. LÝ THUYẾT I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM 1. Hệ trục toạ độ trong không gian Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz , , đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz . Chú ý: Ta gọi i j k , ,    lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox Oy Oz , , . Trong hệ toạ độ Oxyz (Hình), ta gọi: điểm O là gốc toạ độ; Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng ( ),( ),( ) Oxy Oyz Ozx là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz . Nhận xét: Các mặt phẳng toạ độ ( ),( ),( ) Oxy Oyz Ozx đôi một vuông góc với nhau. Ví dụ 1: Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình. a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ nào? b) Trục Oz có vuông góc với mặt sân hay không? Giải a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ Oxy. b) Trục Oz vuông góc với mặt phẳng tọa độ ( ) Oxy nên trục Oz vuông góc với mặt sân. 2. Toạ độ của một điểm Ta có định nghĩa sau (Hình): CHUYÊN ĐỀ 9. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M . - Xác định hình chiếu M1 của điểm M trên mặt phẳng Oxy . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tìm hoành độ a , tung độ b của điểm M1 . - Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M . Bộ số ( ; ; ) a b c là toạ độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , kí hiệu là M a b c ( ; ; ) . Chú ý - Toạ độ của một điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất. - Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm M theo cách sau (Hình): + Xác định hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox , điểm H ứng với số a trên trục Ox . Số a là hoành độ của điểm M . + Xác định hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy , điểm K ứng với số b trên trục Oy . Số b là tung độ của điểm M . + Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M . Khi đó, bộ số ( ; ; ) a b c là toạ độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(4;5;3) . Gọi 1 2 3 A A A , , lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ ( ),( ) Oxy Oyz , ( ) Ozx (Hình). Tìm toạ độ của các điểm 1 2 3 A A A , , .
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 Giải Gọi A x y z A x y z A x y z 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3  ; ; , ; ; , ; ;     . Với A(4;5;3) , đặt 4, 5, 3 A A A x y z    . Ta có: 1 1 4; 5 A A      x x y y và 1z  0 (vì A1 nằm trên mặt phẳng ( )) Oxy . Do đó 1 A (4;5;0) . 2 2 5; 3 A A      y y z z và 2 x  0 (vì A2 nằm trên mặt phẳng ( )) Oyz . Do đó 2 A (0;5;3). 3 3 4; 3 A A      x x z z và 3 y  0 (vì A3 nằm trên mặt phẳng ( )) Ozx . Do đó 3 A (4;0;3) . II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ OM  . Nếu OM  có tọa độ ( ; ; ) a b c thì ta viết OM a b c  ( ; ; )  , trong đó a gọi là hoành độ của vectơ OM b,  gọi là tung độ của vectơ OM  và c gọi là cao độ của vectơ OM  (Hình). Chú ý: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , ta có: - OM a b c M a b c   ( ; ; ) ( ; ; )  ; - Vectơ đơn vị i  trên trục Ox có tọa độ là i  (1;0;0)  ; Vectơ đơn vị j  trên trục Oy có tọa độ là j  (0;1;0)  ; Vectơ đơn vị k  trên trục Oz có toạ độ là k  (0;0;1)  (Hình).
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm M ( 4;3; 1)   và N(2; 1; 3)   . Tìm tọa độ của các vectơ OM ON ,   . Giải Ta có: M ( 4;3; 1)   và N(2; 1; 3)   . Do đó, OM ON       ( 4;3; 1), (2; 1; 3)   . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , toạ độ của một vectơ u  là toạ độ của điểm A , trong đó A là điểm sao cho OA u    . Nếu u  có tọa độ ( ; ; ) a b c thì ta viết u a b c  ( ; ; )  , trong đó a gọi là hoành độ, b gọi là tung độ và c gọi là cao độ của vectơ u  . Ví dụ 4: Tìm tọa độ của các vectơ 1 2 A A A A ,   ở Hình. Giải Trong Hình, ta có: 1 2 A A OL A A OH   ,     mà L(0;0;3) và H(4;0;0). Do đó, 1 A A  (0;0;3)  và 2 A A  (4;0;0)  . Ta có định lí sau: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu u a b c  ( ; ; )  thì u ai bj ck    .     Ngược lại, nếu u ai bj ck        thì u a b c  ( ; ; ).  Chú ý: Với u x y z   1 1 1 ; ;   và v x y z   2 2 2 ; ;   , ta có: 1 2 1 2 1 2 x x u v y y z z             . Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết toạ độ của nó. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2 ; - 3) và vectơ u   (3; 4;2)  . Hãy biểu diễn theo các vectơ i j ,   và k  mỗi vectơ sau: a) OA  ; b) u  . Giải a) Vì điểm A có toạ độ là (1;2; 3)  nên OA   (1;2; 3). 