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FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE TANGER SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE : Mécanique & Thermodynamique & Electricité & Optique & Electrocinetique & Electronique MATH : Analyse & Algèbre & Probabilité & Statistique CHIMIE : ORGANIQUE &ATOMISTIQUE&CRISTALLOCHIMIE THERMODYNAMIQUE ET CINETIQUE Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 par whatsapp :06-26-45-09-23 FST- TANGER MIPC TDs ANALYSE3 2020 – 2021 http://saborpcmath.com/
1 Facult ́e des Sciences et Techniques Ann ́ee 2020-21 Tanger MIP-Analyse 3 S ́erie No :1 Exercice 1: Soient E un ensemble non vide et d une application d ́efinie par d(x, y) = ( 1 si x 6= y 0 si x = y Montrer que d est une disance de E et pr ́eciser les boules ouvertes de (E, d) Exercice 2: a) Soient a, b et c trois r ́eels positifs tels que c ≤ a + b Montrer l i ́egalit ́esuivante : c 1 + c ≤ a 1 + a + b 1 + b b) Soit (E, d) un espace m ́etrique. Montrer que d1(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) et d2(x, y) = inf(d(x, y), 1) d ́efinissent des distances sur E. Montrer que d1 et d2 sont ́equivalentes Exercice 3: Soit (E, N) un espace norm ́e. Montrer l’in ́egalit ́e suivante, pour tout x et y dans E |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y) Exercice 4: a) In ́egali ́e de Schwarz : Montrer l’i ́egalit ́e suivante pour tout x et y dans IRn Xn i=1 |xiyi | ≤ vuutXn i=1 xi 2 × vuutXn i=1 yi 2 Ind.x 6= 0, y 6= 0 et r ≥ 0 l’equation φ(r) = Xn i=1 (|xi | + r |yi |) 2 n’a pas de racine b) Montrer que N1, N2 et N∞ sont des normes de IRn (D ́efinit en cours) b) Faites une repr ́esentation de la boule B(O, 1) dans le cas de IR2 Exercice 5: Dans IR, on pose A = [1, 3[∪[4, 9[ et B = [3, 4[. D ́eterminer A, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, B, A ∩ B et v ́erifier qu’ils sont tous diff ́erents. Exercice 6: Soit (E, d) un espace m ́etrique et A et B deux parties de E. Montrer les relations suivantes :
2 1. A = A ⇐⇒ A ferm ́e 2. A ⊂ B =⇒ A ⊂ B 3. A = A 4. A ∪ B = A ∪ B 5. A ∩ B ⊂ A ∩ B Exercice 7: Montrer que si une suite (xn) converge dans un espace m ́etrique (E, d) alors sa limite est unique Exercice 8: Soient d1 et d1 deux distances ́equivalentes.Montrer que (xn) est de Cauchy pour d1 ⇔ (xn) est de Cauchy pour d2 Exercice 9: Soient f, g : IRn → IR deux applications continues .Montrer que F := {x ∈ IR/f(x) = g(x)} est un ferm ́e de IRn Exercice 10: Soit A une partie de (E, d) un espace m ́etrique et a ∈ A. On d ́efinit le nombre d(a, A) := inf x∈A d(a, x) (C’est la distance de a `a A). Montrer que a ∈ A ⇐⇒ d(a, A) = 0
1 Universite AbdelMalek Essaadi Faculte des Sciences et Techniques de Tanger Departement Des Sciences Math ́ ematiques ́ Recueil d’exercices R ́esolus `a l’usage des ́etudiants du MIP & MIPC Analyse 3 Mohammed-Amin BAHRAOUI Novembre 2020