Title 3. PP nhị thức niu tơn-GV.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.Các hằng đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 1 2 3 3 4 6 4 a b a b a b a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b + = + = + + = + + + = + + + + = + + + + ( ) 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5 a b C a C a b C a b C a b C ab C b a a b a b a b ab b + = + + + + + = + + + + + 2.Nhị thức Newton( Niutơn) Khai triển ( ) n a b + được cho bởi công thức sau: Với ab, là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có ( ) ( ) 0 1 1 0 ... ... . 1 n n k n k k n n k n k k n n n n n n n k a b C a b C a C a b C a b C b − − − = + = = + + + + +  Quy ước 0 0 a b = =1 Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton). Trong biểu thức ở VP của công thức (1) a) Số các hạng tử là n +1. b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: 1 k n k k T C a b k n − + = . HỆ QUẢ Với a b = =1, thì ta có 0 1 2 ... n n = + + + C C C n n n . Với a b = = − 1; 1 , ta có ( ) ( ) 0 1 0 ... 1 ... 1 k n k n = − + + − + + − C C C C n n n n B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1. Dạng 1: Viết khai triển nhị thức: a) Phương pháp: Dùng công thức ( ) 0 1 1 1 1 0 ... n n n n n n n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C ab C b C a b − − − − = + = + + + + =  Bấm máy tìm các hệ số b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Khai triển các biểu thức sau
a) ( ) 4 2 1 x + . b) ( ) 4 x − 2 c) ( ) 5 x + 3 d) ( ) 5 3 2 x − Lời giải a) Thay a x = 2 và b =1 trong công thức khai triển của ( ) 4 a b + , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 14 1 2 4 2 1 16 3 1 6 2 1 4 2 1 2 2 8 x x x x x x x x x + = +   +   +  = + + +  + + b)Thay a x = và b =−2 trong công thức khai triển của ( ) 4 a b + , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 4 4 3 2 4 3 2 8 4 24 32 6 2 4 2 6 2 2 1 x 2 x x x x x x x x − = +   − +   − +  −  − + − − = + + ( ) 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5 a b C a C a b C a b C a b C ab C b a a b a b a b ab b + = + + + + + = + + + + + c) Thay a x = và b = 3 trong công thức khai triển của ( ) 5 a b + , ta được: 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 ( 3) 5 3 10 3 10 3 5 3 3 15 90 270 405 243 x x x x x x x x x x x + = +   +   +   +   + = + + + + + . d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 5 5 4 3 2 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 x C x C x C x C x C x C − = + − + − + − + − + − 5 4 3 2 = − + − + − 243 2430 1080 720 240 32 x x x x x Ví dụ 2: Khai triển các đa thức: a) ( ) 4 x −3 ; b) ( ) 4 3 2 x y − ; c) ( ) ( ) 4 4 x x + + − 5 5 ; d) ( ) 5 x y − 2 Lời giải a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 4 0 4 1 3 2 2 1 0 4 4 4 4 4 x C x C x C x C x C − = + − + − + − + − 3 3 3 3 3 4 3 2 = − + − + x x x x 12 54 108 81 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 1 2 2 3 4 0 1 2 1 0 4 4 4 4 4 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 x y C x C x y C x y C x y C y − = + − + − + − + − 4 3 2 2 3 4 = − + − + 81 216 216 96 16 x x y x y xy y c) ( ) ( ) 4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 0 4 4 4 4 4 4 4 x x C x C x C x C x C C x + + − = + + + + + 5 5 5 5 5 5 1 3 2 2 2 3 3 4 4 − + − + C x C x C x C 4 4 4 4 5 5 5 5
( ) ( ) 0 4 2 2 2 4 4 4 2 4 2 4 4 4 = + + = + + = + + 2 5 5 2. 150 625 2 300 1250 C x C x C x x x x d) ( ) 5 x y − 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 5 5 5 5 5 5 = + − + − + − + − + − C x C x y C x y C x y C x y C y ( 2 ) 2 2 2 2 5 4 3 2 2 3 4 5 = − + − + − x x y x y x y xy y 10 40 80 80 32 Ví dụ 3: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau: a) ( ) 4 2 2 + b) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 + + − c) ( ) 5 1 3 − Lời giải a) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 4 0 4 1 3 2 2 1 0 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 .2 2 2 16 32 2 48 16 2 4 68 48 2. + = + + + + C C C C C = + + + + = + b) Ta có: ( ) 4 2 2 68 48 2. + = + ( theo câu a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 4 0 4 1 3 2 2 1 0 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 .2 2 2 16 32 2 48 16 2 4 68 48 2. − = + − + − + − + − C C C C C = − + − + = − Vậy ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 68 48 2 68 48 2 136 + + − = + + − = c) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 1 3 3 3 3 3 3 1 5 3 30 30 3 45 9 3 76 44 3. − = + − + − + − + − + − C C C C C C = − + − + − = − Ví dụ 4: Biểu diễn ( ) ( ) 5 5 3 2 3 2 + − − dưới dạng a b + 2 với ab, là các số nguyên. Lời giải Ta có: ( ) ( ) 5 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 a b a b C a C a b C a b C a b C ab C b + − − = + + + + + ( ) 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 − − + − + − C a C a b C a b C a b C ab C b 5 5 5 5 5 5 ( ) 1 4 3 2 3 5 5 5 5 5 = + + 2 C a b C a b C b
Do đó ( ) ( ) 5 5 a b a b + − − ( ( ) ( ) ) 3 5 1 4 3 2 5 5 5 5 = + + 2 3 2 3 2 2 C C C = 2 405 2 180 2 4 2 1178 2 ( + + =) Ví dụ 5: Biểu diễn ( ) ( ) 5 5 2 3 2 3 + + − dưới dạng a b + 3 với ab, là các số nguyên. Tìm a b +2 Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 3 4 5 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 5 5 5 5 5 5 5 2 3 4 5 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 5 5 5 5 5 5 2 3 .2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 .2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 C C C C C C C C C C C C + = + + + + + − = + − + − + − + − + − Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 2 4 0 5 2 3 4 5 5 5 2 3 2 3 2 .2 2 2 3 2 2 3 580 + + − = + − + − = C C C a b a b = =  + = 580, 0 2 580. Ví dụ 6: Khai triển nhị thức Newton a) 4 2 1 x x     +   . b) 4 2 1 x x     −   c)     +   4 1 3 2 x d)     −   5 1 2 x e) ( − ) 5 a b f) ( − ) 5 2 3 x y Lời giải a)Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 4 4 3 2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 x C x C x C x C x C . . . x x x x x                     + = + + + +           ( ) 0 8 1 6 2 4 3 2 4 8 5 2 4 4 4 4 4 2 3 4 4 1 1 1 1 4 1 C x C x C x C x C x x x . . . 4 6 x x x x x x       = + + + + = + + + +             . b)Ta có 4 2 3 4 0 4 1 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 x C x C x C x C x C . . . x x x x x           − − − −           − = + + + +           0 4 1 3 2 2 3 4 4 4 4 4 4 4 2 4 6 8 2 5 8 1 1 1 1 6 4 1 C x C x C x C x C x x . . . 4 x x x x x x x       − − = + + + + = − + − +             . c) Ta có :