Title Đề số 11.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 11 Câu 1: (2,0 điểm) a. Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn 111 a2 b3c Chứng minh 222 a4 b9c là số chính phương. b. Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 22350xyxy Câu 2: (6,0 điểm) a. Giải phương trình: 22213230xxxx b. Giải hệ phương trình:  22 22 34202 45201 xyxy xyxy      Câu 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 333 4 222 abbcca acbacb    Câu 4: (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD,O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi M là điểm trên cạnh BC,N là điểm trên cạnh CD sao cho MAN45∘ ( M không trùng B và C ). AM cắt DC tại I.BD cắt AM tại E . a. Chứng minh 2 2 2 AB cosCAN1 AI b. Chứng minh 222ABDN2AE c. Gọi P là giao điểm của OM và BI . Chứng minh các đường thẳng AB,DM và CP đồng quy. Câu 5: (2,0 điểm) Trong một chiếc hộp có 100 tấm thẻ giống nhau, được đánh số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 109. Rút ngẩu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau: a. A: Rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số trên thẻ đó là một số chính phương. b. B: Rút được tấm thẻ mà ghi số lớn hơn hoặc bằng hai chữ số tận cùng của số 20267 . Câu 6: (1,0 điểm) Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác nửa đều (tam giác vuông có một góc 60∘ ) có cạnh huyền bằng 2025 và 3 đỉnh được tô cùng màu. HƯỚNG DẪN
Câu Nội dung cần đạt Điểm Câu 1: 2.0 điểm 1.a 1.0 điểm Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn 111 a2 b3c Chứng minh 222a49cbb là số chính phương  222222 2 11121  Vì ,  nên  2323 632 2630 22630 49492263 (23) ba abcabc bcacab abbcac abbcac abcabcabbcac abc        Vây 222a4 b9c là số chính phương 0.25 0.25 0.25 1 điểm Giải phương trình nghiệm nguyên dương 22350xyxy   22 350 3553 xyxy xxyy   - Nếu 350x , thì 530y , suy ra y1 ( vì y là số nguyên dương) với y1 thì x2 - Nếu 3x50 , suy ra x1 vì x nguyên dương với x1 thì y2 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (1;2),(2;1) 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2: 6.0 điểm  2.a đim  3.0 � Giải phương trình 22213230xxxx    2 22 2 222 22 13230 13120 1120 xxxx xxxx xxxx    Nếu 210xx (phương trình vô nghiệm) Nếu 2 210,1xxx Vậy nghiệmcủa phương trình là 1x 0.5 1.0 0.5 1.0
điểm Giải hệ phương trình  22 22 34202 #2 45201 xyxy xyxy      Từ phương trình (1), ta được 2234220xyxy Thay vào phương trình (2), 2222453421xyxyxyxy 0.5   3 22 2 ()1, suy ra 1  Thay vào 1, 3(1)421200 98170 17 1 hoac  9 1 thì 2 178  thì  99 xyxy yyyy yy yy yx yx       Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 8172;1,; 99     0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 3: 2.0 điểm 2.0 điểm Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 333 4 222 abbcca acbacb   
Đặt Áp dụng bất đẳng thức Suy ra . Dấu xảy ra khi Câu 4: 7.0 điểm 4.a 2,5đ 2 2 2 AB  Chúng minh cosCAN1 AI 0.5 0.5 0.5