Title CHỦ ĐỀ 4. CUNG CHỨA GÓC.doc ✅

CHUYÊN ĐỀ 3. ĐƯỜNG TRÒN CHỦ ĐỀ 4. CUNG CHỨA GÓC QUỸ TÍCH CUNG CHỨA GÓC 1. Với đoạn thẳng AB và góc  0180 cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn AB . 2. Hai cung chứa góc  nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB . 3. Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB . 4. Hai điểm ,AB được coi là thuộc quỹ tích. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:  Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H .  Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T .  Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H . CÁCH VẼ CUNG CHỨA GÓC   Bước 1: Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB .  Bước 2: Vẽ tia Ax tạo với AB một góc  .  Bước 3: Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax . Gọi O là giao điểm của Ay với d .  Bước 4: Vẽ cung AmB , tâm O , bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax . 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho đường tròn O , P là một điểm cố định nằm trong O nhưng không trùng với tâm O . Một đường thẳng d thay đổi qua P cắt O tại A và B . Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi d quay quanh P . Giải chi tiết Phần thuận: (Hình 1) Nối OM . Vì M là trung điểm của AB nên 90OMABPOM , tức là M luôn nhìn đoạn OP dưới một góc vuông. Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính OP . Giới hạn: Theo chứng minh trên thì mọi điểm M thuộc quỹ tích đều thuộc đường tròn đường kính OP . Vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp d đi qua O . Như vậy, quỹ tích là cả đường tròn đường kính OP . Phần đảo: (Hình 2) Lấy một điểm M bất kì thuộc đường tròn đường kính OP ( M khác O ). Nối OM . Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với OM cắt O tại A và B . Do góc 90OMP nên d đi qua P . Vì tam giác OAB cân tại O và OM vuông góc với AB nên M là trung điểm của AB . Vậy M là một điểm thuộc quỹ tích. Kết luận: Quỹ tích là đường tròn đường kính OP . Chú ý: Nếu P là một điểm nằm ngoài đường tròn thì quỹ tích sẽ chỉ là phần đường tròn đường kính OP nằm bên trong O . Như vậy, phần đảo và phần giới hạn có ý nghĩa nói chung không thể bỏ qua. Ví dụ 2: Cho một đường tròn O và dây AB cố định, điểm C chuyển động trên cung lớn AB ( C khác A và B ). Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC chuyển động trên một cung tròn cố định. Giải chi tiết Vì dây AB cố định nên 1 2sđABACB không đổi. Đặt ACB . Ta có:  180BACABCACB (tổng ba góc trong một tam giác).  180180BACABCACB . Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ,AIBI lần lượt là tia phân giác của hai góc A và B . Suy ra 11 ; 22IABBACIBAABC  190 22IABIBABACABC  . Lại có: 180AIBIABIBA (tổng ba góc trong một tam giác).
 1801809090 22AIBIABIBA    không đổi. Vì AB cố định, I thuộc nửa mặt phẳng chứa cung lớn AB có bờ là đường thẳng AB nên I luôn chuyển động trên cung chứa góc 90 2   dựng trên đoạn AB . Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CDCB . a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho. b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CECB . Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho. Giải chi tiết a) Phần thuận: Ta có 90ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).  90BCD , mà CDCB (giả thiết). Suy ra BCD vuông cân tại C .  45CDB hay 45ADB . Mặt khác AB cố định. Do đó khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc 45 dựng trên đoạn thẳng AB cố định. Giới hạn: Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB . - Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B . Vậy B là điểm thuộc quỹ tích. - Dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 khi C trùng với A , thì khi đó D trùng với B là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45 vẽ trên AB . Phần đảo: Lấy điểm D tùy ý trên cung BB , nối AD cắt đường tròn đường kính AB tại C . Nối ,BCBD . Ta có: 45ADB (vì D nằm trên cung chứa góc 45 dựng trên đoạn AB ). Trong đường tròn đường kính AB ta có: 90ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).  90BCDBCD vuông cân tại CCBCD . Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung  BB nằm trên cung chứa góc 45 vẽ trên đoạn AB , trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C . b) Phần thuận: Trong đường tròn đường kính AB ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Mà CECB (giả thiết) nên suy ra CBE vuông tại C .  45180135CEBAEBCEB (hai góc kề bù). Mặt khác, AB cố định, nên khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc 135 dựng trên đoạn thẳng AB cố định. Giới hạn: Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính của đường tròn, thì C trùng với B khi đó E trùng với B . Suy ra B là một điểm của quỹ tích. Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A , thì khi đó E trùng với A nên A là một điểm của quỹ tích. Phần đảo: Lấy E bất kỳ trên cung chứa góc 135 . Kẻ AE cắt đường tròn đường kính AB tại C . Nối ,BEBC . Ta có: 135AEB (vì E nằm trên cung chứa góc 135 ).  18045BECAEB (hai góc kề bù). Trong đường tròn đường kính AB có: 90ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra tam giác ECB vuông cân tại C . Do đó CECB . Vậy C là một điểm thuộc quỹ tích.
Kết luận: Vậy E chuyển động trên một cung chứa góc 135 vẽ trên đoạn AB , nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C . 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho nửa đường tròn ;OR đường kính AB . Vẽ dây MNR (điểm M ở trên cung AN ). Hai dây AN và BM cắt nhau tại I . Hỏi khi dây MN di động thì điểm I di động trên đường nào? Câu 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây AC quay quanh A . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B ta vẽ hình vuông ACDE . Hỏi: a) Điểm D di động trên đường nào? b) Điểm E di động trên đường nào? Câu 3: Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm E , trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CECF . Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF . Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC . Gợi ý giải Câu 1: Phần thuận: Tam giác MON đều (vì OMONMNR ).  60MON .  6018060120sđMNsđAMsđNB .  160 2NIBsđAMsđNB . Ta có: 180120AIBNIB (hai góc kề bù). Do AB cố định nên quỹ tích điểm I là cung chứa góc 120 dựng trên đoạn AB . Phần đảo: Trên cung chứa góc 120 dựng trên đoạn AB , lấy điểm I . AI và BI lần lượt cắt nửa đường tròn O tại N và M . Khi đó 1206060AIBBINMON . Suy ra tam giác MON đều. Do đó MNR . Vậy I là một điểm thuộc quỹ tích. Kết luận: Quỹ tích các điểm I là cung chứa góc 120 dựng trên đoạn AB . Câu 2: a) Phần thuận: Ta có 90ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).  90ACD (do ACDE là hình vuông). ,,BCD thẳng hàng.  45ADB (do ACDE là hình vuông) và AB cố định nên quỹ tích điểm D là cung chứa góc 45 dựng trên đoạn AB . Giới hạn: Dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB . + Nếu C trùng với A thì DB . Vậy A là một điểm thuộc quỹ tích. + Nếu C trùng với B thì DAE . ( B là giao điểm của tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn). Phần đảo: HS tự làm. Kết luận: Quỹ tích điểm D là cung AB nằm trên cung chứa góc 45 dựng trên đoạn AB , trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C . b) Phần thuận: Từ A kẻ tiếp tuyến Ay với nửa đường tròn. Gọi FEDAy . Xét AEF và ACB có:  90AEFACB ; AEAC (do ACDE là hình vuông);  EAFBAC (cùng phụ với CAF ). AEFACF (cạnh góc vuông – góc nhọn) AFABAF cố định.