Title 100 problems IIBAAK 26092025.pdf ✅

iibaak TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN THẢO LUẬN NHÓM CHAT - IIBAAK. INEQUALITY IS BEAUTIFUL AS A KISS! Trần Ngọc Khương Trang- Nguyễn Anh Tài - 25/09/2025 [email protected] 0.1. Tổng hợp các bài toán thảo luận nhóm chat - IIBAAK. Câu 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3. Chứng minh rằng a 2 b + b 2 c + c 2 a ⩾ 9 a + b + c . Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz a 2 b + b 2 c + c 2 a ⩾ (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 a 2b + b 2c + c 2a = 9 a 2b + b 2c + c 2a . Ta sẽ chứng minh 9 a 2b + b 2c + c 2a ⩾ 9 a + b + c hay a + b + c ⩾ a 2 b + b 2 c + c 2 a. Ta có kết quả sau (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) ⩾ 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a), ∀a, b, c > 0. Bất đẳng thức này tương đương a(a − b) 2 + b(b − c) 2 + c(c − a) 2 ⩾ 0. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra tại a = b = c = 1. ∇ Câu 2. Cho các số thực không âm a, b, c sao cho ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng ab + c 2 a + b + bc + a 2 b + c + ca + b 2 c + a ⩾ 2(a 2 + b 2 + c 2 ) + ab + bc + ca a + b + c . Lời giải. WLOG, giả sử a = min{a, b, c}. Khi đó 2(a 2 + b 2 + c 2 ) + ab + bc + ca a + b + c = a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca a + b + c ⩽ a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca b + c = a 2 + bc + 2(b 2 + c 2 ) b + c . Do, đó ta cần chứng minh ab + c 2 a + b + bc + a 2 b + c + ca + b 2 c + a ⩾ a 2 + bc + 2(b 2 + c 2 ) b + c 1