Title Dang 9 cac chuyen de hinh hoc.docx ✅

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9: Hình học: 1. Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau, trung điểm A. Bài toán (giữ nguyên màu) Bài 1: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , trên dây cung DC lấy điểm E sao cho 3DCDE , nối AE cắt cung nhỏ CD tại M . Trên cung nhỏ CB lấy điểm N sao cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC tại F . Chứng minh rằng: F là trung điểm của BC . Bài 2: Cho hai đường tròn O và 'O cắt nhau tại M , N . Kẻ dây MA của đường tròn O tiếp xúc với 'O và dây MB của đường tròn 'O tiếp xúc với O . Đường tròn ngoại tiếp MAB cắt đường thẳng MN tại P PM . Chứng minh rằng PNMN . Bài 3: Cho ABC cân tại A  090BAC , đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại D . Dựng DE vuông góc với AC EAC . Gọi H là trung điểm BC . Chứng minh rằng AHHE . Bài 4: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB. a. Chứng minh:  HPOHQO b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng 11 EAEB có giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho nửa  đường tròn (O), đường kính AB =  2R. Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K. Gọi E là giao điểm của AM và OK. 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh: IN = IO. 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: EF//AB. Bài 6: Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB MA,MB,MAMB . Tia phân giác của  AMB cắt AB tại C. Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự ở D, H. Chứng minh CA = CH. Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ C, B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC. a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD.
b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối xứng nhau qua AB. Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho EC là phân giác góc BEF . Trên tia AB lấy K sao cho BK=DF. Chứng minh rằng CK = CF. Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho  MAN=BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc  NMF Bài 10: Cho tam giác ABC có (),(),() aOII theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là ,, aOII . Gọi D là tiếp điểm của ()I với BC , P là điểm chính giữa cung  BAC của ()O , aPI cắt ()O tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và ,BCN là điểm đối xứng với P qua O. Chứng minh  aDAIKAI . Bài 11: Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A và điểm C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K. Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q). Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME B. Lời giải (giữ nguyên màu) Bài 1: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , trên dây cung DC lấy điểm E sao cho 3DCDE , nối AE cắt cung nhỏ CD tại M . Trên cung nhỏ CB lấy điểm N sao cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC tại F . Chứng minh rằng: F là trung điểm của BC . Lời giải
Gọi I là giao điểm BM và CD : EIME EIAB ABAM∥ Kẻ OX vuông góc với DM OXDADE∽ (g.g) 22 1 10 DXDEDE ODAEDEAD  1 10DXR 2 10DMR Xét DEMAEC∽ MEDEMD CEAEAC 2 2 1 . 10 MEDEMD AECEAC 11 56 MEME AEAM 111 662EIABCDIDEIDECD . CMIBNF (g.c.g) 1 2BFCIBC  đpcm Bài 2: Cho hai đường tròn O và 'O cắt nhau tại M , N . Kẻ dây MA của đường tròn O tiếp xúc với 'O và dây MB của đường tròn 'O tiếp xúc với O . Đường tròn ngoại tiếp MAB cắt đường thẳng MN tại P PM . Chứng minh rằng PNMN . Lời giải
K H I P B A N M O' O Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp MAB Gọi ,HK theo thứ tự là giao điểm của OO với MN và MI OOMN và HMHN Ta có: IMIP , OMOP OI là đường trung trực của MA . MAOI OIMO// (cùng vuông góc với MA ) Tương tự: OIMO//OIMO là hình bình hành K là trung điểm của MI HK là đường trung bình của MIN HKNI// hay NIOO// Mà MNOO MNNI hay INMP Bài 3: Cho ABC c PNMN ân tại A  090BAC , đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại D . Dựng DE vuông góc với AC EAC . Gọi H là trung điểm BC . Chứng minh rằng AHHE . Lời giải