Title CHƯƠNG 5 - MỘT SỐ BĐT CỔ ĐIỂN THƯỜNG DÙNG.doc ✅

1 Một số BĐT cổ điển thường dùng 1.1 BĐT liên quan đến các đại lượng trung bình  Trung bình cộng - Trung bình nhân (AM - GM) Với 12,,...,naaa là các số thực không âm. Ta luôn có: 12 12 ... .....nn n aaa aaa n +++ ³ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12....naaa===  Trung bình cộng - Trung bình điều hòa (AM - HM) Với 12,,...,naaa là các số thực dương. Ta luôn có: 12 123 ... . 111 ... naaan n aaa +++ ³ +++ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12....naaa=== Mối quan hệ AM - GM - HM: 12 12 123 ... .... 111 ... nn n aaan aaa n aaa +++ ³³ +++  Trung bình lũy thừa Với 12,,...,naaa là các số thực dương và 0rs . Ta luôn có: 11 1212...... . rrrsss rs nnaaaaaa nn     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi rs hoặc 12....naaa=== 1.2 BĐT Cauchy - Schwarz Với 1212,,...,,,,...,nnaaabbb là các số thực tùy ý. Ta luôn có: 222222212121122..........nnnnaaabbbababab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12 12 ...,n n aaa bbb quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Với 12,,...,naaa là các số thực tùy ý; 12,,...,nbbb là các số thực dương. Ta luôn có: 59 22221212 1212 ... .... ... nn nn aaaaaa bbbbbb    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12 12 ....n n aaa bbb 1.3 BĐT Chebyshev Với hai bộ số 12;;...;anaa ; 12;;...;.nbbb Khi đó ta có:
 Nếu hai bộ trên là đơn điệu cùng chiều thì: 12121122......... ..nnnnaaabbbababab nnn    Nếu hai bộ trên là đơn điệu ngược chiều thì: 12121122......... ..nnnnaaabbbababab nnn   1.4 BĐT Schur Với các số thực không âm a, b, c. Khi đó với mọi số thực dương r ta luôn có: 0.rrraabacbbabcccacb Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc hoặc 0,abc và các hoán vị của nó. Kết quả thường dùng:  3333.abcabcababbcbccaca  294.abcabcabbcca abc   444222222.abcabcabcababbcbccaca 1.5 BĐT Minkowski Với 1212,,...,a,,,...,nnaabbb là các số thực dương và 1.p Khi đó ta luôn có:  111 111 . nnn ppp p pp iiii iii abab      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12 12 ....n n aaa bbb 1.6 BĐT Holder Với 12,,...,nppp là các số thực dương thỏa mãn 12...1nppp và ija với 1,;1,injm là các số thực dương. Ta luôn có: 12111212122212..........npppmmnnnmxxxxxxxxx 121212 112111222212...................nnnppppppppp nnmmnmxxxxxxxxx Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các bộ sau tỉ lệ nhau: 111212122212;;....;;;;....;;....;;;....;.mmnnnmxxxxxxxxx Kết quả thường dùng: 3333333333.abcxyztuvaxtbyuczv 1.7 BĐT Jensen Định nghĩa 1 (Hàm số lồi - lõm).  Hàm số :;fabℝ được gọi là hàm số lồi nếu với mọi 0;1 và mọi ,;xyab ta luôn có: 11.fxfyfxy
 Hàm số :;fabℝ được gọi là hàm số lõm nếu với mọi 0;1 và mọi ,;xyab ta luôn có: 11.fxfyfxy Nhận xét: Hàm số f là hàm số lồi (lõm) khi và chỉ khi f là hàm số lõm (lồi). Định lý 2 (Điều kiện đủ để hàm số lồi lõm). Cho hàm số :;fabℝ có đạo hàm cấp hai với mọi ;.xab Khi đó:  Hàm số là hàm số lồi khi và chỉ khi 0fx với mọi ;.xab  Hàm số là hàm số lõm khi và chỉ khi 0fx với mọi ;.xab Bất đẳng thức Jensen Cho hàm số :;fabℝ và 12,,...,0;1,n có tổng bằng 1. Khi đó:  Nếu f là hàm lồi ta luôn có:  11 . nn iiii ii fxfx       Nếu f là hàm lõm ta luôn có:  11 . nn iiii ii fxfx      1.8 BĐT Muirhead Bất đẳng thức Muirhead được xem là một dạng tổng quát của BĐT AM - GM. Để phát biểu BĐT, ta đến với hai định nghĩa sau: Định nghĩa 3. Cho hai bộ số 12,,...,naaaa và 12,,...,nbbbb sao cho 12...anaa và 12....nbbb Khi đó ta nói bộ a trội hơn bộ b nếu hai bộ số thỏa mãn các điều kiện sau: 11 1212 121121 1212 . . ...................... ....... ......b. nn nn ab aabb aaabbb aaabb      Khi bộ a trội hơn bộ b ta sẽ ký hiệu: .ab≻ Định nghĩa 4. Với 12,,...,nxxx là các số thực dương và 12,,...,naaa là các số thực tùy ý. Ta đặt 121212,,...,...naaannFxxxxxx và 12,,...,inTaTaaa là tổng của các 12,,...,nFxxx thu được khi ta hoán vị các .ix Định lý 5. Với 12,,...,naaaa và 12,,...,nbbbb sao cho ,iiab là các số không âm thỏa mãn .ab≻ Khi đó với 12,,...,nxxx là các số thực dương ta luôn có: iiTaTb Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab hoặc 12....nxxx
1.9 BĐT Karamata Định lý 6. Với f là hàm lồi trên khoảng ;. Khi đó với hai bộ số bất kỳ 12,,...,naaaa và 12,,...,nbbbb với ;;iiab và .ab≻ Ta luôn có: 1212.......nnfafafafbfbfb 1.10 BĐT Gerretsen Trong một tam giác với ,,pRr lần lượt là nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp. Ta luôn có: 222 434.pRrRr