Title Chương 3_Bài 2_Giới hạn hàm số_CD_Đề bài.pdf ✅

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Ta viết khoảng K thay cho các khoảng a;b,;b,a; ,;  . Tổng quát ta có: Cho khoảng K chứa điểm 0 x và hàm số f  x xác định trên K hoặc trên K \x0. Hàm số f  x có giới hạn là số L khi x dần tới 0 x nếu với dãy số  xn  bất kì, xn  K \xo  và n 0 x  x thì f  xn   L . Kí hiệu:   0 limx x  f x  L hay f  x  L khi 0 x  x . Nhận xét: 0 0 0 lim ; lim x x x x x x c c     , với c là hằng số. Chú ý: Hàm số f  x có thể không xác định tại 0 x  x nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới 0 x . 2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số Ta thừa nhận định lí sau: a) Nếu lim   o x x f x L   và lim    ,  o x x g x M L M    thì lim     o x x f x g x L M         ; lim     o x x f x g x L M         lim  .   . o x x f x g x L M           lim ( o x x f x L  g x M  nếu M  0) . b) Nếu f  x  0 và lim   o x x f x L   thì L  0 và lim   o x x f x L   . 3. Giới hạn một phía -Trong trường hợp tổng quát, ta có các định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a; x0 . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y  f  x khi 0 x  x nếu với dãy số  xn  bất kì, n 0 a  x  x và n 0 x  x , ta có f  xn   L . Kí hiệu:   0 lim x x f x L    . Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng  x0 ;b. Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y  f  x khi 0 x  x nếu với dãy số  xn  bất kì, 0 n x  x  b và n 0 x  x , ta có f  xn   L . Kí hiệu: lim   o x x f x L    . Định lí sau đây cho ta mối liên hệ giữa "giới hạn hai phía" lim   o x x f x  với giới hạn bên trái lim   o x x f x   và giới hạn bên phải lim   o x x f x   .
  0 limx x f x L   khi và chỉ khi     0 0 lim lim x x x x f x f x L       II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: a) Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;  . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn là số L khi x   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x   , ta có f  xn   L . Kí hiệu: lim   x f x L   hay f  x  L khi . b) Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng ;a. Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn là số L khi x   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x   , ta có f  xn   L . Kí hiệu: lim   x f x L   hay f  x  L khi x   . Chú ý Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: lim ; lim ; lim 0; lim 0. k k x x x x c c c c c c    x  x     Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi 0 x  x vẫn còn đúng khi x   hoặc x   . III. GIỚI HẠN VÔ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;  . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn là  khi x a   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x  a , ta có f  xn    . Kí hiệu lim   x a f x      hay f  x   khi x a   . Các trường hợp lim   ; lim   ; lim   x a x a x a f x  f x  f x              được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có hai giới hạn cơ bản sau: 1 1 lim ; lim . x a x a x a x a             IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC -Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;  . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn là  khi x   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x   , ta có f  xn    . Kí hiệu: lim   x f x      hay f  x   khi x   . Các trường hợp lim   ; lim   ; lim   x x x f x f x f x                 . được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau: x  
lim k x x      với k là số nguyên dương. lim k x x      với k là số nguyên dương chẵn. lim k x x      với k là số nguyên dương lẻ. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) 2 3 limx x  b) 2 5 25 lim x 5 x  x  Bài 2. Biết rằng hàm số f  x thoả mãn   2 lim 3 x f x    và   2 lim 5 x f x    . Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn   2 limx f x  hay không? Giải thích. Bài 3. Tính các giới hạn sau: a)   2 2 lim 4 3 x x x    b) 2 3 5 6 limx 3 x x  x   c) 1 1 limx 1 x  x   Bài 4. Tính các giới hạn sau: a) 9 1 lim x 3 4 x  x   ; b) 7 11 limx 2 3 x  x  ; c) 2 1 limx x  x  ; d) 2 1 limx x  x  e) 6 1 lim x x 6    g) 7 1 lim x x 7    Bài 5. Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được     50 0 4 t N t t t    bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính lim   t N t  và cho biết ý nghĩa của kết quả. Bài 6. Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C x  50000 105x . a) Tính chi phí trung bình   _C x để sản xuất một sản phẩm. b) Tính   _ limx C x  và cho biết ý nghĩa của kết quả. C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Phương pháp Nếu hàm số fx xác định trên K 0  x thì     0 x x0 lim f x f x .   2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính   2 x 1 lim x x 7 .    Ví dụ 2: Tính 4 5 4 6 x 1 3x 2x lim  5x 3x 1    Ví dụ 3: Tính 3 x 1 lim 4x 2x 3   
Ví dụ 4: Tính 3 x 1 3 2 x 1 lim x 3 2     Ví dụ 5: Tính 4 2 2 x 2 x 4x 3 lim  7x 9x 1     Dạng 2. Giới hạn tại vô cực 1. Phương pháp Giới hạn hữu hạn tại vô cực Cho hàm số xác định trên khoảng với mọi dãy số , và ta đều có . LƯU Ý: Định nghĩa được phát biểu hoàn toàn tương tự. Giới hạn vô cực tại vô cực Cho hàm số xác định trên khoảng với mọi dãy số , và ta đều có . LƯU Ý: Các định nghĩa: được phát biểu hoàn toàn tương tự. Một số giới hạn đặc biệt ( là hằng số, nguyên dương ). với nguyên dương; nếu là số nguyên lẻ; nếu là số nguyên chẵn. Nhận xét: . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính Ví dụ 2: Tính Ví dụ 3: Cho hàm số . Tính lim   x f x  Ví dụ 4:   2 2 lim 4 1 x x x x     Dạng 3. giới hạn một bên 1. Phương pháp Ta cần nắm các tính chất sau   n 0 n n 0 n n n x x0 lim f(x) L x ,x x b, lim x x lim f(x ) L             y  f (x)  ; . lim ( ) x a f x L      xn  n x  a n x   lim f (x)  L lim ( ) x f x L   y  f (x)  ; . lim ( ) x a f x       xn  n x  a n x   lim f (x)   lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) x x x f x f x f x          lim 0 k x c  x   c k lim k x x    k lim k x x    k lim k x x    k lim ( ) lim ( ) x x f x f x              3 lim 2 5 x x x      4 2 lim 3 2 1 x x x      2 f x  x  2x  5