Title HƯỚNG DẪN GIẢI OLP FTU 2024 GIẢI TÍCH 30.01.pdf ✅

Hướng tới Olympic toán cùng anh Nguyễn Lê Sơn Nhóm ôn thi Olympic toán: https://www.facebook.com/groups/863641625310503 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP TRƯỜNG FTU 2023 – 2024 MÔN GIẢI TÍCH By: Nguyễn Lê Sơn (K57 – FTU) Chú ý: Tài liệu chỉ mang tính chất tham khảo Câu 1. a) Ta có 3 0 2 1 8 lim x x x → x + − − = 3 0 2( 1 1) ( 8 2) lim x x x → x + − − − − = 0 0 3 2 3 2 lim lim .( 1 1) .( (8 ) 2 8 4) x x x x x x x x x → → − − + + − + − + = 0 0 3 2 3 2 1 lim lim ( 1 1) ( (8 ) 2 8 4) x x x x x → → + + + − + − + = 1 1 12 + = 13 12 . b) Ta có 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 ( 1) n→ n n   + + +     + = 1 1 1 1 1 lim 1 ... n→ 2 2 3 1 n n     − + − + + −   + = 1 lim 1 n→ n 1     −   + = 1. c) Ta thấy 2 2 2 0 1 x x y   + với mọi số thực x, y Từ đó suy ra 2 2 2 .| | 0 | | x y y x y   +
Hướng tới Olympic toán cùng anh Nguyễn Lê Sơn Nhóm ôn thi Olympic toán: https://www.facebook.com/groups/863641625310503 Suy ra 2 2 2 0 0 0 0 .| | 0 lim lim | | 0 x x y y x y y → → x y → →   = + Suy ra 2 2 2 0 0 .| | lim 0 x y x y → x y → = + Suy ra 2 2 2 0 0 lim 0 x y x y → x y → = + Câu 2. a) Rõ ràng hàm số f x( ) đã cho liên tục trên khi và chỉ khi nó liên tục tại 0. Tức là ta có: 0 lim ( ) (0) x f x f → = Suy ra 2 0 1 lim sin x x m → x = Ta thấy 2 2 2 1 x x x sin x −   với mọi số thực x Mà 2 2 0 0 lim( ) lim 0 x x x x → → − = = 2 0 1 lim sin 0 x x → x → = Vậy m = 0 thì hàm số f x( ) đã cho liên tục trên . b) Dễ thấy x = − 0,1,2, 2 đều không phải là nghiệm của phương trình đã cho với bất kể giá trị nào của m. Từ phương trình đã cho ta suy ra: 3 3 3 1 3 1 3 ( ) ( 1)( 4 ) ( 2)( 1)( 2) x x x x m f x x x x x x x x − + − − + − = = = − − − − + Ta đi tìm m sao cho phương trình f x m ( ) = có số nghiệm thực ít nhất. Rõ ràng f x( ) có 4 đường tiệm cận đứng là x = −2, x = 0, x =1 và x = 2. Hơn nữa f x( ) đổi dấu khi x đi qua 4 điểm trên, có nghĩa là từ + về − hoặc ngược lại. Từ đó suy ra f x( ) luôn có ít nhất 3 nghiệm thực với mọi m, 3 nghiệm này chính là nằm trong 3 khoảng (-2;0), (0;1) và (1;2) sao cho mỗi nghiệm nằm trong 1 khoảng. Từ đó ta chỉ cần đi tìm m sao cho f x( ) có duy nhất 3 nghiệm thực này. Để ý rằng nếu m = 0 thì phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thực là 3 nghiệm của phương trình bậc 3: 3 x x − + = 3 1 0 (thỏa mãn).
Hướng tới Olympic toán cùng anh Nguyễn Lê Sơn Nhóm ôn thi Olympic toán: https://www.facebook.com/groups/863641625310503 Ngược lại, nếu m khác 0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 4, kết hợp với điều kiện f x( ) luôn có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, nên f x( ) sẽ có 4 nghiệm. Ta thấy lim ( ) lim ( ) 0 x x f x f x →− →+ = = Suy ra y = 0 là đường tiệm cận ngang của f x( ) . Hơn nữa f f ( ). ( ) 0 + −  . Do đó phương trình f x m ( ) = ( m  0 ) luôn có 4 nghiệm thực phân biệt. Vậy với m = 0 thì phương trình đã cho có số nghiệm thực ít nhất là 3. Câu 3. a) Ta có: 1 1 1 2 1 2( 1) 1 2 n n n n n n v u u u u v + + + = + → − = − → = Vậy ( ) n v là một cấp số nhân với công bội 1 2 . b) Từ 1 2 1 n n u u + = + suy ra 1 2( ) 1 n n n u u u + − = − Suy ra 1 1 2 1 1 2 2( ... ) ( ... ) n n n n n u u u u u u n u u u + − − + − + + − = − + + + 1 1 2( ) n n u u n S → − = − + hay 1 2 4046 n n S n u = − + + Lại có từ phần a ta suy ra ( ) n v là dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 (do 1 n u  với mọi n theo quy nạp). Do đó tồn tại lim ( 0) n n v L L →+ =  . Chuyển qua giới hạn ta được 0 2 L L L = → = Tức là lim 0 lim 1 n n n n v u →+ →+ = → = Theo đề bài: I = 1 2 4046 lim lim 2023 2024 2023 2024 n n n n S n u n n + →+ →+ − + = − − = 4044 1 lim n 2023 2024 2023 n →+ n + = − Vậy I = 1 2023 .
Hướng tới Olympic toán cùng anh Nguyễn Lê Sơn Nhóm ôn thi Olympic toán: https://www.facebook.com/groups/863641625310503 Câu 4. Ta có 2 1 2 f x( ) I dx x =  . Đặt 1 t x = suy ra 1 2 2 1 1 1 f t I d t t       =  2 1 2 3 ( ) 2 t f t I dt t − → =  (do 1 f t f t ( ) 2 3 t   + =     ) 2 1 2 3 2 2 I → = − I  2 1 2 3 3 3 1 . 2 2 2 2 2 3 2 I I   → = = −     → =  Câu 5. Ta có 1 f x f x ( ) 2 x   + =     với mọi x khác 0. Thay x bởi 1 x ta được: 1 1 f f x 2 ( ) x x     + =   với mọi x khác 0. Giải hệ 2 phương trình trên ta được: 2 2 1 1 2 ( ) 3 3 1 1 2 1 3 3 x x x f x x x x x x f x x x  +  −  = − =    +   −    = − =    với mọi x khác 0. Thử lại ta thấy thỏa mãn.