Title Chủ đề 11 Niuton.docx ✅

Trang 1 Nhị thức NewTon Câu 1. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho 20223 2 11 0Txxxx xx     . Sau khi khai triển và rút gọn Tx có bao nhiêu số hạng? A. 36 . B. 39 . C. 44 . D. 38 . Lời giải Chọn D 20223 2 11 Txxx xx    20222032220222 00 11 .. k k kkk k kk CxCx xx        2022 604223 202212 00 kkkk kk CxCxTT    Số các số hạng của Tx chính là số các số mũ khác nhau của x . Trong 1T số mũ của x là các bội của 4 trong đoạn 20,60 . Trong 2T dễ thấy số mũ của x là các số: 22;19;16;13;10;7;4;1;2;5;8;11;14;17;20;... . Dễ thấy có 4 số mũ trùng nhau của 1T và 2T là 16;4;8;20 . Vậy số số hạng trong Tx là 2022438 . Chọn D Câu 2. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm )Cho khai triển nhị thức Newton 222* 0122()...,(n)nn nxxaaxaxaxN . Tìm hệ số 10a .Biết rằng 1221nn nnCC Lời giải Giải phương trình tìm n: 12* 2 21(n,n2) 6()!!(1) 2121420 7(l)(1)!2!(2)!2 nn nnCCN nnhnnnn nnn nnn        . Ta có: 66 262612 66 00 ()().()(1)kkkkkk kk xxCxxCx    Mà 26212 01212()...xxaaxaxax nên 10a là hệ số của 10x Suy ra: 10122kxxk Vậy hệ số 10a là: 22 6(1)15C 11 Chuyên đề
Trang 2 Câu 3. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình )Cho khai triển . Hệ số lớn nhất trong khai triển đó là A. . B. C. . D. . Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát 1kT trong khai triển đã cho là: 151515152323kkkkkkkCxCx . ;015kkℕ Hệ số của số hạng tổng quát 1kT là 15 1523kkk kaC . - Với 0k : Ta có 0150 01523aC . - Với 15k : Ta có 15015 151523aC . - Với 015k : ka lớn nhất khi và chỉ khi:   151141 11515 151161 11515 15141 15161 2323 2323 15!15! 2323 !15!1!14! 15!15! 2323 !15!1!16! 23 543151 32548 16 kkkkkk kk kkkkkk kk kkkk kkkk aaCC aaCC kkkk kkkk kkk k kk                               43 5 48 5 k k         Mà kℕ nên suy ra 9k . Suy ra hệ số lớn nhất là 969 91523aC . So sánh các hệ số 0a , 9a và 15a ta thấy 9a lớn nhất. Vậy 9a là hệ số lớn nhất trong khai triển đã cho. Câu 4. (HSG11 Cụm Hà Đông Hoài Đức Hà Nội năm )Tìm số hạng chứa 5x trong khai triển: 10 22 3x x     0x . Lời giải Hướng 1: Trình bày theo lớp 12 như sau: Ta có: 10101022 10 0 22 3C..3 k k k k xx xx      101031010 0 C.2.3.kkkk k x    .( 0x ) với 0,1,2,...,10k . Khi 31055kk thì số hạng chứa 5 x trong khai triển là: 5555510.2.3.1959552.Cxx . Hướng 2: Trình bày theo lớp 11 như sau:
Trang 3 Ta có 1010210102210 101010 00 22 3C..3C.2.3. k k kk kkk k kk x xx xxx         , ( 0x ) với 0,1,2,...,10k . Số hạng chứa 5 x ứng với số k thỏa mãn 2 5 10 k k x x x 215kk xx2155kkk . Vậy số hạng chứa 5 x trong khai triển là 551055510C.2.3.1959552.xx . Câu 5. (HSG11 Hà Tĩnh )Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 nC ; 2 nC ; 3 nC lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ 5 và thứ 15 của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: 222202422121212143621. 2n nnnnCCCCC Lời giải a. Theo giả thiết ta có 21 4nnCCd ; 31 14nnCCd2131 414 nnnnCCCC  213172nnnnCCCC3212750nnnCCC(1)(2)(1)2750 62 nnnnn n  2 227550nn11 5 () 2 n nL      . Với 11n , thử lại thỏa mãn cấp số cộng. Ta cần chứng minh 2222024222323232323461... 2CCCCC . Ta sẽ chứng minh tổng quát 2222024121... 2 nn nnnnnCCCCC với n lẻ. Xét khai triển 201011(1)(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnxxxCCxCxCxCxC . Đồng nhất hệ số của n x của đẳng thức trên ta có 2222201232nnnnnnnnCCCCCC (1) Do n lẻ và 11 01122 ;;...; nn nn nnnnnnCCCCCC    Nên 222222222012302412.nnnnnnnnnnnCCCCCCCCC . Thay vào (1) ta có 2222024121. 2 nn nnnnnCCCCC (đpcm). Câu 6. (HSG11 THuận Thành )Tính tổng 234213243(1)n nnnnSCCCnnC⋯ . Lời giải
Trang 4 Ta có: 234213243(1)n nnnnSCCCnnC⋯ với số hạng tổng quát là     22 ! 11 !! 12! 2!2!2! 12. k kn k n n ukkCkk knk nnn knk nnCkn         Từ đó: 0122221nnnnSnnCCC⋯ 212.nnn Câu 7. (HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm )Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 52014k . Chứng minh rằng: 01155 5201452014520142019......kkkkCCCCCCC Lời giải Ta có: 520142019(1).(1)(1)xxx Đặt 50122334455 555555(1)MxCCxCxCxCxCx 2014012220142014 20142014201420142014(1)......kkNxCCxCxCxCx 2019012220192019 20192019201920192019(1)......kkPxCCxCxCxCx Vì .PMN nên số hạng chứa kx trong P có dạng: 011122225555 201952014520145201452014 0112255 52014520145201452014 .x.x....x. .......(*) kkkkkkkkkk kkkkkkkk CxCCxCCxCCxCCx CCxCCxCCxCCx     Thay 1x vào (*) ta có: 01155 5201452014520142019......kkkkCCCCCCC Câu 8. (HSG12 THPT Thuận Thành năm )Tính tổng 234 2.13.24.3...(1).n nnnnSCCCnnC Lời giải 234 2.13.24.3...(1)n nnnnSCCCnnC Số hạng tổng quát:   ! 11 !! k kn n ukkCkk knk    12! 2!2!2! nnn knk     2212knnnCkn 0122221...nnnnSnnCCC212nnn Câu 9. (HSG12 tỉnh GIA LAI ) Tìm hệ số của số hạng chứa 5 x trong khai triển ()21nxx++ , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 022 222...512.n nnnCCC+++= Giải: