Title Chuyên đề 13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN.doc ✅

Chuyên đề 13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng: 1111 2222 3333 axbyczd axbyczd axbyczd       Điều kiện 123123123;;;;;;;;aaabbbccc không đồng thời bằng 0. Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, chúng ta thường dùng phương pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn. Đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.  Tương tự như vậy, hệ phương trình bậc nhất n ẩn là hệ phương trình có dạng: 111211 212222 12 ... ... ...... ... n n nnnnn axbxcxd axbxcxd axbxcxd        Điều kiện 121212;;...;;;;...;;...;;;...;nnnaaabbbccc không đồng thời bằng 0. Tương tự như trên, ta cũng làm giảm bớt số ẩn bằng cách dùng phương pháp thế, phương pháp cộng. Tuy nhiên phụ thuộc vào mỗi bài, ta có những cách giải thích hợp và ngắn gọn. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 11 (1) 25 (2) 3214 (3) xyz xyz xyz       Giải Tìm cách giải. Phương trình bậc nhất ba ẩn. Ta có thể khử bớt một ẩn để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế:  Cách 1. Dùng phương pháp cộng để khử ẩn z, đưa về hệ phương trình hai ẩn x, y.  Cách 2. Từ phương trình (1) biểu diễn z theo x và y thế vào phương trình (2) và (3) ta cũng được hệ phương trình hai ẩn x, y. Trình bày lời giải Cách 1. Từ phương trình (1) và (2) ta có: 26xy Từ phương trình (2) và (3) ta có: 39xy Từ đó ta có hệ phương trình: 265150 39393 xyyx xyxyy     Thay vào phương trình (1) ta tính được 8.z Vậy nghiệm của hệ phương trình là ;;0;3;8.xyz Cách 2. Từ phương trình (1) ta được : 11.zxy Thay vào phương trình (2) và (3) ta được : 211526260 321114234263 xyxyxyxyx xyxyxyxyy     Thay vào phương trình (1) ta tính được 8z Vậy nghiệm của hệ phương trình là ;;0;3;8.xyz Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 322 (1) 320 (2) 318 (3) xyz xyz xyz       Giải Tìm cách giải. Ngoài cách giải như ví dụ 1. Quan sát đặc điểm các hệ số của mỗi phương trình, ta nhận xét rằng nếu cộng từng vế của ba phương trình, ta được phương trình mới có hệ số của ẩn giống nhau. Do vậy ta có lời giải hay và gọn hơn.
Trình bày lời giải Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được 56012 (4)xyzxyz Từ phương trình (4) thay vào các phương trình (1); (2); (3) ta được: 212225 212204 212183 xx yy zz       Vậy nghiệm của hệ phương trình là ;;5;4;3.xyz Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình: 1 4312 1 3105 xyz xyz         Có nghiệm ;y;.xz Chứng tỏ xyz không đổi (Thi HSG Toán lớp 9, TP. Đà Nẵng, Năm học 2009 – 2010) Giải Cách 1: 1 3412 (1)4312 103630 (2) 1 3105 xyz xyz xyzxyz          Từ phương trình (2) và (1), lấy vế trừ vế ta được: 18718 7xyzxyz không đổi. Cách 2: Từ phương trình (1) ta có: 3412 (3).zxy Thế vào phương trình (2) ta được: 1036.341230xyxy 10318247230xyxy 10221 2821102 28 y xyx  Thay vào (3) ta có: 3.102214930 412 2828 yy zyz  Xét 10221493018 28287 yy xyzy  không đổi. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 23Axyz biết x, y, z không âm và thỏa mãn hệ phương trình: 2438 332 xyz xyz     (Thi HSG Toán lớp 9, TP. Hồ Chí Minh, Năm học 2011 – 2012) Giải  Tìm cách giải: Từ giả thiết ta thấy hệ phương trình bậc nhất ba ẩn mà chỉ có hai phương trình, do đó hệ phương trình có vô số nghiệm. Suy luận, ta có thể coi một ẩn nào đó là tham số, biểu diễn hai ẩn còn lại theo tham số đó. Chẳng hạn biểu diễn x, y theo z. Cũng từ đó biểu thức A viết dưới dạng đa thức chứa z. Từ điểu kiện x, y, z không âm, ta xác định được miền giá trị của z. Từ đó ta có lời giải sau:  Trình bày lời giải Ta có: 2483 (1) 323 (2) xyz xyz     Từ (2) ta có: 323.yzx Thay vào phương trình (1) ta được: 32432383 2xzxzxz
Do đó 93 322. 22yzzz Kết hợp với 3 0 2 0 34 0200 (3) 23 0 0 z x yzz z z             Suy ra: 3315 -232234. 222Axyzzzzz    Kết hợp với (3) ta có: 1515 4.044 22Az Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi 0,0,2;zxy C. Bài tập vận dụng 13.1. Giải hệ phương trình sau: a) 234 (1) 3223 (2) 549 (3) xyz xyz xy       b) 2350 (1) 25430 (2) 34270 (3) xyz xyz xyz       c) 24 (1) 2336 (2) 346 (3)       xyz xyz xyz Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) và (2) ta có 4268 541 9669 xyz xy xyz     Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ phương trình: 54110101 . 5495491 xyxx xyxyy     Thay vào phương trình (1) ta tính được 1.z Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là ;;1;1;1.xyz b) Từ phương trình (1) ta có: 235xyz thay vào phương trình (2), (3) ta được:   2.2355430273 . 27823.2354270 yzyzyzy yzzyzyz      Từ phương trình (1) ta có: 2.33.255.x Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là ;;5;3;2.xyz c) Từ phương trình (1) ta có: 42xyz thay vào phương trình (2), (3) ta được: 2.42336521 . 4210342346 yzyzyzy yzzyzyz     Từ phương trình (1) ta có: 412.(3)9.x Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là ;;9;1;3.xyz 13.2. Giải hệ phương trình sau: 211 (1) 212 (2) 213 (3) 214 (4) xyzt xyzt xyzt xyzt         Hướng dẫn giải – đáp số Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được: 55010 (5)xyztxyzt Từ phương trình (5) thay vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta được:
10111 10122 . 10133 10144 xx yy zz tt         Vậy nghiệm của hệ phương trình là ;;;1;2;3;4.xyzt 13.3. Giải hệ phương trình: a) 4 (1) 8 (2) 12 (3) 16 (4) xyzt xyzt xyzt xyzt         b) 8 (1) 6 (2) 4 (3) 2 (4)         xyzt yztx ztxy txyz Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) và (2) cộng vế với vế: 2.126.xyxy Từ phương trình (3) và (4) cộng vế với vế: 2.2814.xyxy Từ đó ta có hệ phương trình: 610 144     xyx xyy Thay vào phương trình (1) và (3) ta được: 6422 . 141220 ztztz ztztt     Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ;;;10;4;2;0.xyzt b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được: 22010 (*)xyztxyzt Từ phương trình (*) kết hợp với hệ phương trình ta có: 10281 10262 . 10243 10224 tt xx yy zz         Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ;;;2;3;4;1.xyzt 13.4. Giải hệ phương trình sau: a) 6 (1) 9 (2) 12 (3) 10 (4) 8 (5) xyz yzt ztu tux uxy            b) 4 (1) 5 (2) 6 (3) 12 (4) 8 (5) xyz yzt ztu tux uxy            Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ hệ phương trình đã cho, cộng vế với vế ta được: 34515 (6)xyztuxyztu Từ (6) và (1) suy ra: 6159tutu Thay vào (4) ta có: 1x Thay vào (3) ta có: 3z Thay vào (1) ta được: 2y Thay 1;3xz vào (3) ta được: 4t Thay 3;4zt vào (4) ta được: 5u Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ;;;;1;2;3;4;5.xyztu b) Từ hệ phương trình cộng vế với vế ta được: