Title BÀI 5_ỨNG DỤNG HS GIẢI TOÁN THỰC TIỄN_ĐỀ BÀI_KNTT.pdf ✅

BÀI 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG Giả sử y là một hàm số của x và ta viết y  f (x) . Nếu x thay đổi từ 1 x đến 2 x , thì sự thay đổi của x là 2 1 x  x  x và sự thay đổi tương ứng của y là y  f  x2   f  x1 . Tỉ số  2   1  2 1 y f x f x x x x      được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên đoạn  x1 ; x2 . Giới hạn     2 1 2 1 0 2 1 lim lim x x x y f x f x   x  x x      được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại điểm 1 x  x . Như vậy, đạo hàm f (a) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y  f (x) đối với x tại điêm x  a . Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế: - Nếu s  s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v  s(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi củ̉a độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t)  v(t)  s(t). -Nếu C  Ctlà nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t , thì C(t) là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t . - Nếu P  P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t , thì P(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t . - Nếu C  C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời C(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên. - Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ x 1 (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87 , bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5m /s là 2 h(t)  2  24,5t  4,9t (theo Vật lí đọi cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu? c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu? Ví dụ 2. Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hinh hoá bằng hàm số 0,75 ( ) t a P t b e    , trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t  0 , quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của a và b . Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?
Ví dụ 3. Giả sử chi phí C(x) (nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số 2 3 C(x)  30000  300x  2,5x  0,125x . a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm C(200) và giải thích ý nghĩa. c) So sánh C(200) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201. Ví dụ 4. Để loại bỏ x% chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là 300 ( ) (triêu dông), 0 100. 100 x C x x x     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  C(x) . Tự đó, hãy cho biết: a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi x tăng? b) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao? 2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ ĐƠN GIẢN Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí. Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số. Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá: Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. Bước 2. Chọn một đại lượng thich hợp nào đó, kí hiệu là x , và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x . Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x . Tìm tập xác định của hàm số Q  Q(x) . Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q  Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận. Ví dụ 5. Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Ví dụ 6. Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Ví dụ 7. Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán x chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là 3 2 P(x)  0,3x  36x 1800x  48000. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  P(x), x  0. Sử dụng đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau: a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng công ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn? b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng hay không?
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1.26. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là 3 y  t 12t  3,t  0 . a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc. b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới? c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0  t  3. d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc? 1.27. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hoá nào đó là: 2 3 C(x)  23000  50x  0,5x  0,00175x .a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm C(100) và giải thich ý nghĩa của nó. c) So sánh C(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101 1.28. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghin đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất? 1.29. Giả sử hàm cẩu đối với một loại hàng hoá được cho bởi công thức 354 , 0, 1 0,01 p x x    trong đó p là giá bán (nghin đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán. a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p . Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghin đồng. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x  x( p) . Tử đồ thị đã vẽ, hãy cho biết: - Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán p tăng; - Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn 0 lim ( ) p x p   . C. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN Câu 1: Công suất P (đơn vị W ) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin 12V được cho bởi công thức 2 P 12I  0,5I với I (đơn vị A ) là cường độ dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện. A. 72 . B. 12. C. 1 192  . D. 23 2 . Câu 2: Khi nuối cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã nhận thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là Pn  480  20n g . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
Câu 3: Để giảm nhiệt độ trong phòng từ 0 28 C , một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi T (đơn vị 0C ) là nhiệt độ phòng ở phút thứ t được cho bởi công thức 3 T  0,008t  0,16t  28 với t [1;10]. Tìm nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động. A. 0 27,832 C . B. 0 18,4 C . C. 0 26,2 C . D. 0 25,312 C . Câu 4: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu? A. 2.250.000 B. 2.350.000 C. 2.450.000 D. 2.550.000 Câu 5: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng. A. 44.000đ B. 43.000đ C. 42.000đ D. 41.000đ Câu 6: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức     2 G x  0,25x 30  x trong đó xmg  và x > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu: A. 15mg B. 30mg C. 40mg D. 20mg Câu 7: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là   2 3 G t : 45t  t , (kết quả khảo sát được trong 10 tháng vừa qua). Nếu xem G't là tốc độ truyền bệnh (người / ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ: A. 25 B. 30 C. 20 D. 15 Câu 8: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. độ sâu h m của mực nước trong kênh tính theo thời gian th trong ngày cho bởi công thức 3cos 12 6 3 t h            . Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất? A. t  10 h B. t  14 h C. t  15h D. t  22 h Câu 9: Thể tích nước của một bề bơi sau t phút bơm tính theo công thức   4 1 3 30 100 4 t V t t         0  t  90 Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi v t  V 't . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng. A. Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90. B. Tốc độ bơm luôn giảm. C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75. D. Cả A, B, C đều sai.