Title 037_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Lạng Sơn_25-26 (1).pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN Đề chính thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề 1 Đề bài 1 Bài 2 ( 1,0 điểm). Cho biểu thức 3 1 2 : 1 1 1 1 x x x P x x x x x x x   + = − +       + − + + − + với x  0 . a Rút gọn biểu thức P . b Tìm các giá trị của x để 1 4 P  . Bài 3 (2,0 điểm). a Cho phương trình ( ) 2 ax bx c a + + =  0 0 với abc , , là các số thực thỏa mãn điều kiện 3 0 a b c − + = . Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đều không thể cùng là số dương. b Kết thúc năm học 2024-2025, An hỏi Bình: "Năm học vừa qua, bạn có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8 và điểm 9 ?". Bình trả lời: "Số bài kiểm tra đạt điểm 8 , điểm 9 của tớ nhiều hơn 21 và tổng số điểm của các bài kiểm tra đó là 183 ". Em hãy tính giúp An xem Bình có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8 và bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 9 . Bài 4 (2,0 điểm). a Giải phương trình 4 3 2 x x x x − + − − = 4 7 6 4 0 . b Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 3 x xy y y x y  + = − +   − = c Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc ao là góc vuông. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một Vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua cái cọc đã được cắm sẵn ở điểm A (tham khảo hình bên). Biết khoảng cách từ A đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ A đến bờ dọc là 12m , diện tích nhỏ nhất của khu vực cá có thể giăng là bao nhiêu mét vuông? (Hinh ảnh minh họa) Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC AB AC ( )  nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao AD BE CF , , dồng quy tại H . Gọi P là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC I, là giao điểm của đoạn thẳng PA với đường tròn (O I A )(  ). a Chứng minh các điểm A I F H E , , , , cùng nằm trên một đường tròn. b Gọi M là trung điểm của BC , chứng minh ba điểm M H I , , thẳng hàng. c Đường thẳng qua D song song với EF cắt các đường thẳng AB CF , lần lượt tại Q S, . Chứng minh D là trung điểm của QS .
Câu 6 ( 1,0 điểm). a Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2 n n + +9 không chia hết cho 25 . b Cho X là tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn hơn 2025. Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tồn tại hai phần tử x y, sao cho x y − thuộc tập hợp E = 3,6,9 . 2 Lời giải Bài 2 ( 1,0 điểm). Cho biểu thức 3 1 2 : 1 1 1 1 x x x P x x x x x x x   + = − +       + − + + − + với x  0 . a Rút gọn biểu thức P . b Tìm các giá trị của x để 1 4 P  . Lời giải. a Ta có: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3 1 2 : voi 0 1 1 1 1 1 3 1 2 : voi 0 1 1 1 1 1 1 1 1 voi 0 2 x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x   + = − +      + − + + − +   + − + + = − +      − + + − + + − + + − +   =  + b Ta có: 1 0 4 1 1 voi 0 2 4 4 2 voi 0 2 voi 0 4 voi 0 P voi x x x x x x x x x     +  +      Vậy với 4 0  x thỏa mãn 1 4 P  . Bài 3 (2,0 điểm). a Cho phương trình ( ) 2 ax bx c a + + =  0 0 với abc , , là các số thực thỏa mãn điều kiện 3 0 a b c − + = . Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đều không thể cùng là số dương. b Kết thúc năm học 2024-2025, An hỏi Bình: "Năm học vừa qua, bạn có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8 và điểm 9 ?". Bình trả lời: "Số bài kiểm tra đạt điểm 8 , điểm 9 của tớ nhiều hơn 21 và tổng số
điểm của các bài kiểm tra đó là 183 ". Em hãy tính giúp An xem Bình có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8 và bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 9 . Lời giải. a Xét 2 Δ 4 = − b ac mà b a c = + 3 nên: 2 2 2 2 2 Δ (3 ) 4 9 2 8 ( ) 0, vì 0 a c ac a ac c a a c a = + − = + + = + +    phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Gọi 1 2 x x, là 2 nghiệm đó. Theo Vi-et, ta có: 1 2 1 2 b x x a c x x a  − + =     =  Giả sử phản chứng, 1 2 x x, 0  . Mà theo Vi-et  − c a b , , cùng dấu nên 3 0 a b c − +   Vô lý. b Gọi số bài kiểm tra đạt điểm 8 và 9 của Bình lần lượt là a và b a b ( ,  ) . Theo dữ kiện đề bài, ta có: 21 8 8 168 8 9 183 8 9 183 a b a b a b a b  +  +       + = + =  Vì 8 8 168 a b +  nên 183 8 9 168 15 = +  +   a b b b . Mặt khác: ( ) ( ) ( ) 183 7 mod8 8 9 mod8 7 mod8 a b b b  +     = b 7 thay vào phương trình trên ta thu được (a b, 15,7 ) = ( ) . Vậy Bình có 15 bài 8 điểm và 7 bài 9 điểm. Bài 4 (2,0 điểm). a Giải phương trình 4 3 2 x x x x − + − − = 4 7 6 4 0 . b Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 3 x xy y y x y  + = − +   − = c Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc ao là góc vuông. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một Vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua cái cọc đã được cắm sẵn ở điểm A (tham khảo hình bên). Biết khoảng cách từ A đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ A đến bờ dọc là 12m , diện tích nhỏ nhất của khu vực cá có thể giăng là bao nhiêu mét vuông?
(Hinh ảnh minh họa) Lời giải. a Ta có: 4 3 2 x x x x − + − − = 4 7 6 4 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2  − + − − + − − + = x x x x x x x x 2 4 2 2 4 2 4 0 ( )( ) 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 4 0 2 4 0 x x x x x x x x  − − =  − − − + =    − + = • Xét phương trình (1) 2 2 1 2 2 1 0 ( 1) 2 1 2 x x x x x  = + − − =  − =    = − • Xét phương trình (2) 2 2 x x x − + =  − = − 2 4 0 ( 1) 3 (Vô lí) Suy ra phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình có tập nghiệm S = − + 1 2,1 2 . b Gọi: ( ) 2 2 2 2 2 3 2# 1 3 x xy y y x y  + = − +   − = Từ (1) có: ( )( ) 2 2 2 3 2 0 2 2 1 0 2 2 0 1 0 x xy y y x y x y x y x y + − + − =  − + + − =  −+=    + − = TH1 : 2 2 0 2 2 x y y x − + =  = + Thay vào (2) ta được: