Title Chương 3_Bài 3_Hàm số liên tục_CD_Đề bài.pdf ✅

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM 1. Hàm số liên tục tại một điểm Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;b và x0 a;b. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục tại 0 x nếu     0 0 lim x x f x f x   . Nhận xét: Hàm số y  f  x không liên tục tại 0 x được gọi là gián đoạn tại 0 x . 2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên khoảng a;b nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu hàm số đó liên tục trên khoảng a;b và lim    ; lim     x b x a f x f a f x f b       . Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng a;b,a;b,a;  , a; ,;a,;a,;  được định nghĩa tương tự. Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là "đường liền" trên khoảng đó. II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản -Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y  sinx, y  cosx liên tục trên  . Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y  tanx, y  cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Hàm căn thức y  x liên tục trên nửa khoảng 0; . 2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Giả sử y  f  x và y  g  x là hai hàm số liên tục tại điểm 0 x . Khi đó: a) Các hàm số y  f  x  g  x, y  f  x  g  x và y  f  x g  x liên tục tại 0 x ; b) Hàm số     f x y g x  liên tục tại 0 x nếu g  x0   0 . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số   3 f x  2x  x 1 tại điểm x  2 . Bài 2. Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a,15b,15, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.
Bài 3. Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số y  f  x liên tục tại điểm 0 x , còn hàm số y  g  x không liên tục tại 0 x , thì hàm số y  f  x  g  x không liên tục tại 0 x ". Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích. Bài 4. Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó: a)   2 f x  x  sinx b)   4 2 6 1 g x x x x     ; c)   2 1 3 4 x x h x x x      . Bài 5. Cho hàm số   2 1 2 1 x x f x a        4 4 x x   a) Với a  0 , xét tính liên tục của hàm số tại x  4 . b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x  4 ? c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó? Bài 6. Hình 16 biểu thị độ cao h m của một quả bóng được đá lên theo thời gian t s, trong đó   2 h t  2t  8t . a) Chứng tỏ hàm số ht liên tục trên tập xác định. b) Dựa vào đồ thị hãy xác định   2 2 lim 2 8 t t t    . C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng K và 0 x K. Hàm số y  fx gọi là liên tục tại 0 x nếu 0 0 x x0 x x x x o o lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).         
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho   x 2 2 x f x x     với x  0. Phải bổ sung thêm giá trị f0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại x  0? Ví dụ 2: Cho hàm số   2 a x vôùi x 1 vaø a f x . 3 vôùi x 1          Giá trị của a để fx liên tục tại x 1 là bao nhiêu? Ví dụ 3: Cho hàm số   2 3 x 1 vôùi x 3 vaø x 2 f x . x x 6 b 3 vôùi x 3 vaø b                Tìm b để fx liên tục tại x  3. Ví dụ 4: Cho hàm số   a 2 khi x 2 f x . sin khi x 2 x           Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x  2. Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm 0 x .   3 3x 2 2 neáu x 2 f x x 2 ax 2 neáu x 2             ; 0 x  2. Ví dụ 6: Cho hàm số   x 2 vôùi 5 x 4 x 5 f x mx 2 vôùi x 4 . x vôùi x 4 3               Tìm giá trị của m để fx liên tục tại x  4 . Ví dụ 7: Cho hàm số   2 2 2 x 8 3 neáu x 1 f x x 4x 3 . 1 cos x a x neáu x 1 6                Tìm giá trị của a để fx liên tục tại x 1. Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định 1. Phương pháp  Để chứng minh hàm số y  f  x liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.  Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.  Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào  Hàm số y  fx được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.  Hàm số y  fx được gọi là liên tục trên đoạn a,b   nếu nó liên tục trên a,b và x a x b lim f(x) f(a), lim f(x) f(b).       2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :
a)   2 4 2 2 4 2 x khi x f x x khi x             b)   2 2 2 2 2 2 2 x khi x f x x khi x           Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: a)   2 2 2 2 2 x x khi x f x x m khi x              b)   2 1 2 1 1 1 x x khi x f x khi x mx khi x            Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng 1. Phương pháp  Chứng minh phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm - Tìm hai số a và b sao cho fa.fb  0 - Hàm số fx liên tục trên đoạn a;b   - Phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm   0 x  a;b  Chứng minh phương trình fx  0 có ít nhất k nghiệm - Tìm k cặp số i i a ,b sao cho các khoảng   i i a ;b rời nhau và i i f(a )f(b )  0, i 1,...,k - Phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm   i i i x  a ;b .  Khi phương trình fx  0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho : - fa, fb không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi. - Hoặc fa, fb còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx 1x  2  2x 1  0. Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: a)    3 2 2 1 m x 1  x  x  3  0 b) cos x  mcos 2x  0 c) m2cos x  2   2sin 5x 1 Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3 x  3x 1  0 b) 3 2x  6 1 x  3 Ví dụ 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) 5 x  3x  3  0 b) 4 3 2 x  x  3x  x 1  0 Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình 2 ax  bx  c  0 luôn có nghiệm 1 0; 3 x        với a  0 và 2a  6b 19c  0 . Dạng 4. Toán thực tế Bài 1. Một hãng taxi đưa ra giá cước cho loại xe 4 chỗ như sau: