Title Chương 4_Bài 10_Tọa độ vecto_Lời giải_Toán 10_KNTT.docx ✅

BÀI 10. VEC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TỌA ĐỘ VECTƠ Với mỗi vectơ u→ trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số ;ooxy sao cho oouxiyj→→→ . Ta nói vectơ u→ có tọa độ ;ooxy và nếu ;oouxy→ hay ;oouxy→ . Các số ;ooxy tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của u→ . Nhận xét. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ. ;';     →→xx uxyuxy yy 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ Cho hai vectơ ;uxy→ và ;vxy→ . Khi đó  ; ; ku=; uvxxyyuvxxyykxky→→→→→ với kℝ Nhận xét. Vectơ ;vxy→ cùng phương với vectơ ;0uxy→→ khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho ,xkxyky ( hay là xy xy   nếu 0xy ). Nếu điểm M có tọa độ ;xy thì vectơ OM→ có tọa độ ;xy và có độ dài 22 OMxy→ Nhận xét. Với ;yux→ , ta lấy điểm ;Mxy thì uOM→→ . Do đó 22 uOMxy→→ . Chẳng hạn, vectơ 2;1u→ có độ dài là 22215u→ . Với hai điểm ;Mxy và ;Nxy thì ;MNxxyy→ và khoảng cách giữa hai điểm M , N là 22MNMNxxyy→ . Chú ý: Trung điềm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là ; 22 ABABxxyy   . Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là ; 33 ABCABCxxxyyy   B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm (1;3),(4;2)MN a) Tính độ dài các đoạn thẳng ,,OMONMN . b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân. Lời giải a) Ta có: (1;3)M và (4;2)N (1;3),(4;2),(41;23)(3;1)OMONMN→→→ 22 ||1310OMOM→ , 22 ||4225ONON→ 22 ||3(1)10MNMN→ b) Dễ thấy: 10OMMNOMN cân tại M . Lại có: 222101020OMMNON
 Theo định lí Pythagore đảo, ta có OMN vuông tại M . Vậy OMN vuông cân tại M . Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ 32,(4;1)aijb→→→→ và các điểm (3;6),(3;3)MN . a) Tìm mối liên hệ giữra các vectơ MN→ và 2ab→→ . b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không? c) Tìm điểm (;)Pxy để OMNP là một hình bình hành. Lời giải a) Ta có: (4;1)b→ và 32(3;2)aija→→→→ 2(2.34;2.(2)(1))(2;3)ab→→ Lại có: (3;6),(3;3)MN (3(3);36)(6;9)MN→ Dễ thấy: (6;9)3.(2;3)3(2)MNab→→→ b) Ta có: (3;6)OM→ ( do (3;6))M và (3;3)ON→ (do (3;3))N . Hai vectơ này không cùng phương (vì 36 33    ). Do đó các điểm ,,OMN không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng. c) Các điểm ,,OMN không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi OMPN→→ . Do (3;6),(3;3)OMPNxy→→ nên 336 639 xx OMPN yy     →→ Vậy điểm cần tìm là (6;9)P . Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm (1;3),(2;4),(3;2)ABC . a) Hãy giải thích vì sao các điểm ,,ABC không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB . c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . d) Tìm điểm (;)Dxy để (0;0)O là trọng tâm của tam giác ABD . Lời giải a) Ta có: (21;43)(1;1),(31;23)(4;1)ABAC→→ Hai vectơ này không cùng phương (vì 11 41  ). Do đó các điểm ,,ABC không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng. b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là 123437 ;; 2222    
c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là 12(3)342 ;(0;3) 33     d) Để (0;0)O là trọng tâm của tam giác ABD thì (0;0); 33 ABDABDxxxyyy    1234 (0;0); 33 xy    (0;0)(12;34)xy (0;0)(3;7)xy 033 077 xx yy     Vậy tọa độ điểm D là (3;7) . Câu 19. Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí (1;2)A chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ (3;4)v→ . Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ. Lời giải Gọi (;)Bxy là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ. Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ (3;4)v→ nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng ||v→ . Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B , ta được: 1,5ABv→→ (1;2)1,5.(3;4) 14,55,5 268 xy xx yy      Vậy sau 1,5 tàu ở vị trí (trên mặt phẳng tọa độ) là (5,5;8)B . Câu 20. Trong hình, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1;2) . Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào? Lời giải a) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật có chiều dài 3 ô, chiều rộng 2 ô. Do đó, từ vị trí hiện tại, quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E, F như dưới đây:
A có tọa độ (3;3) B có tọa độ (3;1) C có tọa độ (2;0) D có tọa độ (0;0) E có tọa độ (0;4) F có tọa độ (2;4) Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí (3;3),(3;1),(2;0),(0;0),(0;4),(2;4)ABCDEF . C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng ,,uvuvku+- rrrrr 1. Phương pháp. Dùng công thức tính tọa độ của vectơ ,,uvuvku+- rrrrr Với uxy=(;) r ; uxy='(';') ur và số thực k, khi đó uvxxyy±=±±(';') rr và kukxky=.(;) r 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: ()()()abc==-=--3;21;52;5rurr Tìm tọa độ của vectơ sau a) uv+2 rr với uij=-34 rrr và vip= rr b) kab=+2 rrr và labc=-++25 rrrur Lời giải a) Ta có ()uvijiijpp+=-+=+-23434rrrrrrr suy ra ();uvp+=+-234rr b) Ta có ab==-2(6;4)(1;5) urur suy ra ()()k=-+=61;455;9ur ; ab-=--=-(3;2),2(2;10) urur và c=--5(10;25) ur suy ra ()()l=----+-=--3210;2102515;17r Ví dụ 2: Cho abc==-=-(1;2), (3;4) ; (1;3) rrr . Tìm tọa độ của vectơ u r biết