Title Chương 6_Bài 3_ _Đề bài_Toán 9_CTST.pdf ✅

BÀI 3. ĐỊNH LÝ VIÈTE A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định lý viète Nếu phương trình bậc hai ( ) 2 ax bx c a + + =  0 0 có hai nghiệm 1 2 x x, thì tổng và tích của hai nghiệm đó là 1 2 1 1 ; b c S x x P x x a a − = + = = = . Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình: a) 2 x x − + = 7 5 0 ; b) 2 5 2 7 0 x x − + = . Lời giải a) Ta có ( ) 2  = − − =  7 4.1.5 29 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . Theo định lí viete, ta có 1 2 1 2 7; . 5 b c x x x x a a + = − = = = . b) Ta có ( ) 2  = − − = −  2 4.5.7 136 0 nên phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2. Gọi 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình 2 x x − + = 5 3 0 . Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức: a) 1 2 1 1 x x + ; b) 2 2 1 2 x x + . Lời giải Phương trình 2 x x − + = 5 3 0 có  =  13 0 nên nó có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . Theo định lí viete, ta có 1 2 1 2 5; . 3 b c x x x x a a + = − = = = . a) Ta có 1 2 1 2 1 2 1 1 5 . 3 x x x x x x + + = = ; b) Ta có ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 x x x x x x + = + + 2 . Suy ra ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x + = + − = − = 2 5 2.3 19. Nhận xét: Nếu phương trình ( ) 2 ax bx c a + + =  0 0 có abc + + = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x =1, nghiệm còn lại 2 c x a = . Nếu phương trình ( ) 2 ax bx c a + + =  0 0 có a b c − + = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x = −1, nghiệm còn lại 2 c x a = − . Ví dụ 3. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a) 2 15 7 22 0 x x + − = ; b) 2 18 7 25 0 x x − − = .
Lời giải a) Phương trình 2 15 7 22 0 x x + − = có abc + + = + + − = 15 7 22 0 ( ) . Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 2 22 1; 15 c x x a = = = − . b) Phương trình 2 18 7 25 0 x x − − = có a b c − + = − − + − = 18 7 25 0 ( ) ( ) . Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 2 25 1; 18 c x x a = − = − = . 2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình 2 x Sx P − + = 0 . Điều kiện để có hai số đó là 2 S P −  4 0 . Ví dụ 4. Tìm hai số (nếu có) trong mỗi trường hợp sau: a) Tổng của chúng bằng 23 và tích của chúng bằng 120. b) Tổng của chúng bằng 110 và tích của chúng bằng 30. Lời giải a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình 2 x x − + = 23 120 0 . Ta có ( ) 2 1 2 23 7 23 7 23 4.1.120 49; 49 7; 15; 8 2 2 x x + −  = − − =  = = = = = = . Vậy hai số cần tìm là 15 và 8. b) Ta có 2 2 S P S P = = − = − = −  10; 30; 4 10 4.30 20 0 . Vậy không có hai số thỏa mãn điều kiện đã cho. B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình: a) 2 3 – 9 5 0 x x + = ; b) 2 25 –20 4 0 x x + = ; c) 2 5 – 9 15 0 x x + = ; d) 2 5 2 3 3 0 x x − − = . 2. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a) 2 24 –19 – 5 0 x x = ; b) 2 2,5 7,2 4,7 0 x x + + = ; c) 3 7 2 5 0 2 2 x x + + = ; d) ( ) 2 2 2 3 3 0 x x − + + = . 3. Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau: a) u v uv + = = 29, 154 ; b) u v uv + = = –6, –135 ; c) u v uv + = = 5, 24 .
4. Cho phương trình 2 x x –19 – 5 0 = . Gọi 1 2 x x , là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: a) 2 2 A x x = +1 2 ; b) 1 2 2 2 B x x = + ; c) 1 2 3 3 2 2 C x x = + + + 5. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116m , diện tích 2 805 m . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó. C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số 1. Phương pháp giải Tính  và chứng tỏ  0 để phương trình có nghiệm. Áp dụng định lý Vi-ét: 1 2 1 2 ; . . b c S x x P x x a a = + = − = = 2. Ví dụ Ví dụ 1. Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...): a) 2 1 2 1 2 2 – 17 1 0; ; ; . ; x x x x x x + =  =  + =  =  2 1 2 1 2 b x x x x x x )5 35 0; ; ; . ; − − =   =  + = =  2 1 2 1 2 c x x x x x x )8 1 0; ; ; . ; − + =   =  + = =  2 1 2 1 2 d x x x x x x )25 1 0; ; ; . . +10 + =   =  + = =  Ví dụ 2. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau: 2 2 2 2 4 2 – 5 0; 9 – 12 4 0; 5 2 0; 1 59 – 2 – 1 0. ) ) ) ) x x x x x x x x + = + = + + = = a b c d Ví dụ 3. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m. ( ) 2 2 2 a b ) ) – 2 0; 2 – 1 0. x x m x m x m + = + + = Dạng 2. Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm 1. Phương pháp giải Áp dụng định lý Vi-ét: 1 2 1 2 ; . . b c S x x P x x a a = + = − = = Nhẩm: 1 2 1 2 S x x m n P x x m n = + = + = = ; . . . thì phương trình có nghiệm 1 2 x m x n = = ; . Nếu abc + + = 0 thì 1 2 1; . c x x a = = Nếu a b c − + = 0 thì 1 2 1; . c x x a = − = −
2. Ví dụ Ví dụ 1. Dùng điều kiện abc 0 + + = hoặc a b c – 0 + = để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: 2 a x x ) 35 – 37 2 0; + = 2 b x x ) 7 500 – 507 0; + = 2 c x x ) – 49 – 50 0; = 2 d x x ) 4321 21 – 4300 0 + = Ví dụ 2. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình. 2 2 a x x b x x ) 7 12 0 ) 7 12 0 − + = + + = . Ví dụ 3. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a) 1,5 2 1,6 0,1 0 x x − + = ( ) 2 b x x ) 3 1 3 1 0 − − − = ( ) ( ) 2 c x x ) 2 3 2 3 2 3 0; − + − + = ( ) ( ) 2 d m x m x m ) 1 2 3 4 0 − − + + + = với m 1. Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. 1. Phương pháp giải Từ hệ thức cho trước của x y, tìm tổng S x y = + , tích P x y = . . x y, là hai nghiệm của phương trình 2 X SX P − + = 0. 2. Ví dụ Ví dụ 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: 32, . 231; 8; . 105; 2; . 9. ) ) ) u v u v u v u v u v u v + = = + = − = − + = = a b c Ví dụ 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a u v u v ) 42, . 441 + = = b u v u v ) 42; . 400 + = − = − c u v u v ) 5; . 24 − = = Dạng 4. Phân tích 2 ax bx c + + thành nhân tử 1. Phương pháp giải Nếu phương trình 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm 1 2 x x ; thì ( )( ) 2 1 2 ax bx c a x x x x + + = − − 2. Ví dụ Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) 2 2 5 3 x x − + ; b) 2 3 8 2 x x + + . Ví dụ 2. Rút gọn phân thức: 2 2 9 8 2 3 1 x x P x x − + = − + Ví dụ 3. Rút gọn phân thức: 1 5 6 x P x x − = − +