Title 1. ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MANELAUS.doc ✅

Kéo dài MN cắt AB tại D’  M, N, D’ thẳng hàng Theo chiều "" ta có: BMCNAP'ADAD' ..D'D CMANBP'BDBD'1  M, N, D thẳng hàng  đpcm 3) Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ∆ABC. Đường tròn I nội tiếp tam giác và tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại O, E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.  Định hướng lời giải: Do đường tròn I tiếp xúc với các đoạn BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F nên ta sẽ cớ AE = AF, BD = BF, CD = CE. Từ đó suy ra FADBEC .. FBDCEA1 . Theo định lí Ceva đảo suy ra AD, BE, CT đồng quy tại một điểm. Lời giải Ta có AB, BC, CA là các tiếp tuyến của I tại F, D, E nên theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau có: BD = BF, AE = AF, CD = CE BDCEAF .. CDAEBF1 Theo định lý Ceva  AD, BE, CF đồng quy  Nhận xét: Điểm đồng quy cùa 3 đường AD, BE, CF được gọi là điểm Gergonne trong tam giác ABC. Ta nhớ lại bài toán: "Cho ∆ABC. Các điểm D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường thẳng BC vói đường tròn bang tiếp trong góc A, đường thẳng CA với đường tròn bàng tiếp trong góc B, đường thẳng AB với đường tròn bang tiếp trong góc C mà tôi đã giới thiệu trong phần bài tập ở phần lý thuyết về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau. Nếu ta gọi D', E', F' là các tiếp điểm của đường tròn I nội tiếp ∆ABC với các cạnh BC, CA, AB. Ta đã chứng minh được BD = CD', CD = BD', AE = CE', CE = AE', AF = BF', BF = AF'.. Do đó: BDCEAFCD'AE'BF' .... CDAEBFBD'CE'AF'1  AD, BE, CF cũng đồng quy và điểm đồng quy này gọi là điểm Nagel của ∆ABC. Bài 2: Chứng minh trong một tam giác, chân đường phân giác trong của 2 góc và chân đường phân giác ngoài của góc thứ ba thẳng hàng.  Định hướng lời giải: Trước tiên ta sẽ giả sử có ∆ABC và D, E, F lần lượt là chân đường phân giác ngoài góc A và chân đường phân giác trong các góc B, C. Ta cần chứng minh D, E, T thẳng hàng. Từ hình vẽ ta sẽ nghĩ ngay đến ý tưởng dùng định lí Menelaus vì theo tính chất đường phân giác ta sẽ có ngay các tỉ số FADB ; FBDC và EC EA theo các cạnh. Từ đó ta sẽ chứng minh được FADBEC .. FBDCEA1 và theo định lí Menclans đảo suy ra D, E, F thẳng hàng. Lời giải Giả sử ta có ∆ABC và có D là chân đường phân giác ngoài của góc A và E, F lần lượt là chân đường phân giác trong các góc B và C . Theo tính chất đường phân giác ta có: FACADBABECBC ;; FBCBDCACEABA FADBECCAABBC .... FBDCEACBACBA1 Theo định lí Melenaus đao suy ra D, E, F thẳng hàng  đpcm.  Nhận xét: Đây cũng là một kết quả khá thú vị trong tam giác. Các yếu tố trong bài toán là khá quen thuộc nhưng đôi khi chúng ta lại không nhận ra tính chất này Bài 3: Cho ∆ABC, F thuộc AB, E thuộc AC, D thuộc BC sao cho AD, BE, CF dồng quy. Kéo dài EF cắt BC ờ Q (Q thuộc nửa mặt phăng bờ AD chứa B). Chứng minh QBDB QCDC