Title Toán 12_Tập 1 C1_Bài 1. Đơn điệu và cực trị CTST_bản GV.pdf ✅

1 PHẦN MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ i . nh ơn i u v tr h m số A. Kiến thứ ần nhớ . nh ơn i u a) Nhắc lại về t nh ồng biến, ngh ch biến c a hàm số Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K.  Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 thì f (x1) < f (x2).  Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 thì f (x1) > f (x2). o Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a). o Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1b). 1a) 1b)  Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. b) Xét t nh ồng biến, ngh ch biến c a hàm số d a vào xét dấu ạo hàm Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.  Nếu f '(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) đồng biến trên K.  Nếu f '(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K. Chú ý:  Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó.  Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f '(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.  Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f '(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K. ) Cá bướ xét t nh ơn i u c a hàm số y = f (x): o Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. o Bước 2. Tính đạo hàm f '(x) của hàm số. Tìm các điểm x1; x2; ...; xn thuộc D mà tại đó đạo hàm f '(x) bằng 0 hoặc không tồn tại. o Bước 3. Sắp xếp các điểm x1; x2; ...; xn theo thứ tự tăng dần, xét dấu f '(x) và lập bảng biến thiên. o Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. C tr h m số ) Đ nh nghĩ y y O K x O K x y = f (x) y = f(x)
2 Cho hàm số y f(x)  xác định trên tập hợp D và o x D . ▪ Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm xo và a;b D   sao cho o f (x) f (x )  với mọi x a;b \ x    o thì o x được gọi là một điểm cực đại, f x o  được gọi là giá trị cực đại của hàm số y f(x)  , kí hiệu CĐ y . ▪ Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm xo và a;b D   sao cho o f (x) f (x )  với mọi x a;b \ x    o thì o x được gọi là một điểm cực tiểu, f x o  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y f(x)  , kí hiệu CT y . a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số. b) Nếu x là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f (x) thì ta cũng nói hàm số y = f (x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x . c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D. d) Nếu x là điểm cực trị của hàm số y = f (x) thì điểm M( x ; f ( x )) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x). b) Tìm c c tr c a hàm số bằng cách xét dấu ạo hàm Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x ) và ( x ; b). Khi đó:  Nếu f '(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x ) và f '(x) > 0 với mọi x ∈ ( x ; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x ;  Nếu f '(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x ) và f '(x) < 0 với mọi x ∈ ( x ; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại điểm x . ) Cá bước tìm c c tr c a hàm số y = f (x): o Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. o Bước 2. Tính đạo hàm f '(x) của hàm số. Tìm các điểm x1; x2; ...; xn thuộc D mà tại đó đạo hàm f '(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. o Bước 3. Xét dấu f '(x). Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm xi (i = 1, 2, ...) thì hàm số đạt cực tiểu tại xi . Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm xi (i = 1, 2, ...) thì hàm số đạt cực đại tại xi . Chú ý: a) Nếu f '(x) = 0 nhưng không đổi dấu khi x qua điểm xi (i = 1, 2, ...) thì hàm số không có cực trị tại xi . b) Nếu f '(x) không đổi dấu trên khoảng K thì f (x) không có cực trị trên khoảng đó. . Cá dạng b i tập & phương pháp giải Dạng . Đọ ồ th ho trướ ể tìm khoảng ơn i u, tr V dụ . Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình vẽ bên dưới.
3 Lời giải tham khảo Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2; 1) và (5; 8), nghịch biến trên khoảng (1; 5). V dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình vẽ bên dưới. Lời giải tham khảo Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 3; 2)   và ( 1;0)  Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 1)   và (0;1) V dụ 3. Cho hàm số y = f (x) = x 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới: a) Từ đồ thị của hàm số y = f (x), hãy chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho. b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x). c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x). Lời giải tham khảo a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; )  ; Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0)  b)   2 f (x) 2x x     . Ta có: f (x) 0 2 0 0 x x       ; f (x) 0 2 0 0 x x       c) Nhận xét: y –2 O 1 5 8 x y –3 –2 –1 O 1 x 2 4 9 1 3 1 –3–2–1 x y O
4 f (x) 0   trên K thì y f x  ( ) đồng biến trên K f (x) 0   trên K thì y f(x)  nghịch biến trên K V dụ 4. Quan sát đồ thị của hàm số y = f (x) = x 3 – 3x 2 + 1 trong Hình vẽ. a) Tìm các khoảng đơn điệu của đồ thị ở hình vẽ trên. b) Tìm cực trị của hàm số có đồ thị như hình vẽ trên. Lời giải tham khảo V dụ 5. Tìm cực trị của hàm số y = f (x) có đồ thị được cho ở Hình vẽ. Lời giải tham khảo Hàm số y = f (x) có: x = 1 là điểm cực đại vì f (x) < f (1) với mọi x ∈ (0; 2) \ {1}, ycđ = f (1) = 5; x = 6 là điểm cực đại vì f (x) < f (6) với mọi x ∈ (5; 7) \ {6}, ycđ = f (6) = 6; x = 4 là điểm cực tiểu vì f (x) > f (4) với mọi x ∈ (3; 5) \ {4}, yct = f (4) = 1. V dụ 6. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình vẽ. Lời giải tham khảo Hàm số y f x  ( ) có: x 5  là điểm cực đại vì f (x) f (5)  với mọi (3;7) \{5}, (5) 5 cd x y f    x 3  là điểm cực tiểu vì f (x) f (3)  với mọi (1;5) \{3}, (3) 2 ct x y f    –1 y –1 –3 1 2 3 1 O x y O 1 x 1 2 4 5 6 –1 2 3 4 5 6 7 y 1 1 3 5 7 9 2 5 O x