Title Chủ đề 2 - SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.doc ✅

Trang 1/23 Chủ đề 2 SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. Kiến thức cần nhớ 1. Một số tính chất của tỉ số + Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có 11 ab ab + Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: - Nếu a 1 b thì aac bbc    - Nếu a 1 b thì aac bbc    - Nếu ac bd thì aacc bbdd    2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức + aa;a0 + abbab + ab ab0 ab     + abab . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + abab . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + abab . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab0 hoặc ab0 . + Cho các số thực 12na,a,...,a , thế thì hiển nhiên ta có 12n12naa...aaa...a + Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có ab 2 ba . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . 3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức. Cho tam thức bậc hai 2f(x)axbxc với a0 . Khi đó ta viết được 2 2 2 b f(x)axbxcaax 2a4a    với 2 b4ac Từ đó ta có một số tính chất sau: Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi 2b4ac0 Tính chất 2: Nếu 2b4ac0 thì af(x)0 . Tính chất 3: Nếu 2 b4ac0 và đa thức có hai nghiệm 1212x;xxx thì + af(x)0 với mọi giá trị 12xxx . + af(x)>0 với mọi giá trị 1xx hoặc 2xx . B. Một số ví dụ minh họa.
Trang 2/23 1. Sử dụng tính chất của tỉ số. Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab 1 2aba2b  Phân tích: Để ý ta thấy ab 1 abab  , như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta cần đánh giá được aabb ; 2abab2baab  . Lời giải Do a, b là các số dương nên ta có 2abab;a2bab Từ đó suy ra aabb ; 2abab2baab  Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ababab 1 2ab2baababab    Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: abc 12 abbcca  Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép trên ta nhận thấy khó có thể biến đổi tương đương để chứng minh bài toán, ở đây ta cũng không cần phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra. Để ý một chút ta có abc 1 abcabcabc  , như vậy cần đánh giá được aa abcab  . Dễ nhận thấy đánh giá đó hiển nhiên đúng, do đó chỉ cần áp dụng tương tự thì bất đẳng thức bên trái được chứng minh. Để chứng minh được bất đẳng thức bên phải thì ta cần phải đánh giá được aac abcab   , việc này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ tính chất của tỉ số. Lời giải Do a, b, c là các số dương nên ta có a 1 ab  . Vì vậy theo tính chất của tỉ số ta được aaac abcabcab    Áp dụng tương tự ta có bbccabbc abcabcabcbcabcca,  Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức kép trên ta được abc 12 abbcca  Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Cho a, b, c, d là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: abcd 12 abcbcdcdadab  Lời giải