Title +SMP3 COURS ANALYSE3 FSA-AGADIR 20-21.pdf ✅

D ́epartement de Math ́ematiques 2020-2021 Analyse complexe (SMP3) Ces notes de cours repr ́esentent tantˆot un r ́esum ́e, tantˆot un d ́eveloppement des th`emes et notions abord ́es aussi bien au cours qu’aux travaux dirig ́es. la philosophie d’int ́egration de ce module pour les ́etudiants de SMP3 s’explique par l’incontournabilit ́e des outils fournis par ce cours pour une compr ́ehension approfondie de la th ́eorie des signaux et l’usage fr ́equent de la transform ́ee de Fourier. Il convient de rappeler que n’importe quel cours, aussi ficel ́e soit-il, ne peut en au- cun cas ˆetre un substitut pour les cours en pr ́esentiel. Les d ́eveloppements oraux et 1
les conflits cognitifs sont parfois plus instructifs qu’un apprentissage individuel non raisonn ́e. Je ne peux point ́ecrire ces mots et ces notes sans remercier le professeur Omar El-Mennaoui qui, apr`es concertation avec mes coll`egues et le chef de d ́epartement de math ́ematiques `a la facult ́e es Sciences d’Agadir, m’a confi ́e la responsabilit ́e d’assurer ce cours. D’ailleurs une grande partie de ces notes ne sont qu’une reprise de son en- seignement pour cette discipline. Un enseignement de qualit ́e qui constitue pour nous tous une aspiration et objet d’admiration. Avant de clore, je tiens `a remercier ́egalement une grande majorit ́e de mes ́etudiants qui m’ont signal ́e quelques remarques sur les premiers drafts de ces notes de cours. Ils ont fait preuve de vigilance et d’une assimilation des explications que je n’ai pas cess ́e de r ́eit ́erer aussi bien aux s ́eances de cours qu’aux travaux dirig ́es. Il n’est pas n ́ecessaire de rappeler que toute remarque concernant une erreur `a cor- riger, un oubli `a signaler ou une redondance `a ́eviter est la bienvenue. A. Sani 2
Introduction L’histoire de l’analyse complexe permet de comprendre l’ ́evolution des concepts math ́ematiques du point de vue ́epist ́emologique. Les nombres complexes sont apparus en 1539 avec l’Italien Tartaglia qui tentait de r ́esoudre des ́equations de troisi`eme degr ́e ; puis par Cardan en 1547. Ce n’est qu’en 1572 que Bombelli utilise la notation ”abusive” √ −1. Bien que le symbole i fut utilis ́e pour d ́ecrire les ́el ́ements de l’anneau de Gauss Z[i], le statut de l’ensemble C en tant qu’espace vectoriel r ́eel de dimension 2 n’est reconnu que tardivement. Cette br`eve note historique explique `a l’ ́etudiant et `a nous tous combien il est utile et mˆeme n ́ecessaire d’int ́egrer de nouvelles connaissances dans un syst`eme ancien sans se soucier du statut formel que l’individu, voire l’humanit ́e, est oblig ́e de lui conf ́erer. Ce d ́eveloppement historique d’appr ́ehension des communaut ́es scientifiques (math ́ematique et physique en particulier) est connu comme analogue du processus d’apprentissage chez l’ˆetre humain : c’est le principe fondamental de l’andragogie co- gntive. Le but de ce cours n’est pas de d ́ecrire l’ ́evolution historique des concepts d’analyse complexe, ni d’ailleurs de relater les notions ́etudi ́ees mais plutˆot de pr ́esenter diff ́eremment et probablement ”plus simplement” les quelques notions du calcul et d’analyse complexes n ́ecessaire pour qu’un physicien appr ́ehende la mod ́elisation de conservation en terme d’holomorphie et celle de reconstitution et restitution `a l’aide des s ́eries enti`eres et de Fourier. . Depuis le 19eme ` si`ecle, la th ́eorie des fonctions `a variables complexes a occup ́ee de nombreux math ́ematiciens `a savoir : Cauchy, Riemann, Euler, Gauss, Jordan, Weierstrass et beaucoup plus au 20eme ` si`ecle. Dans ce travail, nous pr ́esentons les notions fondamentales de cette th ́eorie : – les fonctions holomorphes ; – les fonctions analytiques ; – le principe du maximum ; – le principe de prolongement ; – l’int ́egration des fonctions complexes ; – th ́eor`eme de Cauchy ; – th ́eor`eme des r ́esidus. 1 G ́en ́eralit ́es sur les nombres complexes On pr ́esente dans ce chapitre les notions topologiques concernant le corps C : les suites des nombres complexes, les s ́eries enti`eres et leurs propri ́et ́es. On commence par introduire C comme ́etant R 2 muni de lois de composition internes + et × conve- nables. 1.1 Rappels sur les nombres complexes Les nombres complexes forment une extension de l’ensemble des nombres r ́eels, plus pr ́ecisement C est une extension alg ́ebrique de degr ́e 2 de R, avec C = R[i] et i 2 = −1. Tout nombre complexe peut s’ ́ecrire sous la forme a + ib o`u a et b sont des r ́eels. On peut munir l’ensemble des nombres 3
complexes d’une addition et d’une multiplication qui en font un corps commutatif contenant le corps des nombres r ́eels. Il est appel ́e corps des nombres complexes et est not ́e C. Plus exactement on a la d ́efinition suivante : D ́efinition 1.1 On munit C = R × R des lois de compositions internes + et × d ́efinies par : C × C −→ C ((a, b),(c, d)) 7→ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), et C × C −→ C ((a, b),(c, d)) 7→ (a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc). L’ensemble (C, +, ×) est le corps des nombres complexes. En effet : • (C, +) est un groupe commutatif d’ ́el ́ement neutre (0, 0) et le sym ́etrique de (a, b) ∈ C est (−a, −b). • (C ∗ , ×) est un groupe commutatif d’ ́el ́ement unit ́e (1, 0) et l’inverse de (a, b) est ( a a 2+b 2 , −b a 2+b 2 ), avec (a, b) 6= (0, 0) • La multiplication est distributive par rapport `a +, c’est-`a-dire que pour tout (z1, z2, z3) ∈ C 3 on a :z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3. Notation : Soit z = (a, b) ∈ C on note Re(z) = a, Im(z) = b et |z| = √ a 2 + b 2 respectivement la partie r ́eelle, la partie imaginaire et le module de z. 4