Title Chương 7_Bài 23_ _Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

BÀI 23: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG HĐ1. Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể). a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng đi qua trên sàn nhà. b) Giải thích vì sao đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà. Lời giải a) Vì mép dưới của cánh cửa luôn sát sàn nhà nên khi cánh cửa đóng, điểm trên cánh cửa sẽ nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường sát sàn nhà. Khi mở cánh cửa, điểm sẽ di chuyển theo đường thẳng song song với đường sát sàn nhà và vẫn giữ nguyên góc vuông với các đường thẳng đi qua trên sàn nhà. Do đó, đường thẳng luôn vuông góc với mọi đường thẳng đi qua trên sàn nhà. b) Theo tính chất của góc phẳng, khi hai đường thẳng và vuông góc với một đường thẳng chung, thì cũng vuông góc với . Vì vậy, khi đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua điểm trên sàn nhà, thì đường thẳng cũng vuông góc với mọi đường thẳng khác trên sàn nhà. Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong . Chú ý. Khi vuông góc với , ta còn nói vuông góc với hoặc và vuông góc với nhau, kí hiệu . HĐ2. Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11. a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn? b) Trên mặt bàn, qua điểm kẻ một đường thẳng tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem có vuông góc với hay không. BC AB B AB BC A A B AB B AB BC CD AB AB AB B AB  ( ) P  ( ) P Δ (P) (P) Δ Δ (P) Δ ⊥ (P) AB A a AB a
Lời giải a) Sau khi gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật, ta sẽ có hai hình chữ nhật nằm chồng lên nhau, với đường chéo của chúng chính là đường thẳng . Do đó, đường thẳng sẽ vuông góc với đường chéo của hai hình chữ nhật đó. b) Để kiểm tra xem đường thẳng có vuông góc với đường thẳng hay không, ta có thể sử dụng một ê-ke. Đặt một đầu ê-ke lên điểm và đưa đầu kia đi dọc theo đường thẳng . Nếu đầu ê-ke không thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng , tức là đường thẳng vuông góc với đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là hai đường không vuông góc nhau. Người ta chứng minh được rằng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và cạnh vuông góc với các cạnh . Chứng minh rằng . Lời giải. (H.7.13) AB AB AB a A a AB S ABC . ABC B SA AB AC , BC SAB ⊥ ( )
Vì vuông góc với hai đường thẳng và nên SA ABC ⊥ ( ) . Suy ra SA BC ⊥ . Tam giác vuông tại nên . Vì vuông góc với hai đường thẳng và nên . Luyện tập 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm và . Chứng minh rằng . Lời giải Vì ABCD là hình bình hành nên OA OC = và OB O= D . Từ SA SC = và SB S = D , ta có  =  SAB S CD . Suy ra SBA SC = D. Tương tự, từ SA SC = và SB S = D , ta có  =  SAC SBD . Suy ra SAC SB = D . Do đó, B C SB SC SAC SBA AOB S D D 180 = + = + = − . Mà BOC 180 = , nên BOS BOS OS= 2 = C . Từ đó suy ra BOS+BS 90 C  = tức SO ABC ⊥ ( D) . Vận dụng. Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó . Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà. Lời giải Điều này được giải thích bởi tính chất của đường thẳng và góc vuông. Một đường thẳng là đường đi qua hai điểm bất kỳ trên không gian và tạo thành một góc 180 độ. Trong khi đó, một góc vuông là một góc có độ lớn là 90 độ. Vì vậy, nếu ta đặt cột treo lên sao cho nó vuông góc với đường thẳng trên sàn nhà, thì chắc chắn cột treo sẽ đứng vuông góc với sàn nhà. SA AB AC ABC B BC BA ⊥ BC SA BA BC SAB ⊥ ( ) S ABCD . ABCD O SA SC , = SB SD H = ( .7.14) SO ABCD ⊥ ( ) (H.7.15)
Bằng cách này, ta có thể đảm bảo rằng cột treo sẽ được đặt đúng vị trí và đứng thẳng đứng góc với sàn nhà, giúp cho quá trình sử dụng cột treo quần áo được dễ dàng hơn và tiện lợi hơn 2. TÍNH CHẤT HĐ3. Cho điểm và đường thẳng không đi qua . Gọi là đường thẳng đi qua và song song với . Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và cùng chứa . Trong các mặt phẳng tương ứng kẻ các đường thẳng cùng đi qua và vuông góc với . Giải thích vì sao mp , (a b) đi qua và vuông góc với . Lời giải Ta biết rằng nếu hai đường thẳng đứng trên hai mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng d cùng vuông góc với d thì chúng sẽ song song với nhau (do cùng vuông góc với đường thẳng d ). Do đó, đường thẳng mp a b ( , ) cũng sẽ là một đường song song với đường thẳng d . Vì đường thẳng d là đường song song với , nên đường thẳng mp a b ( , ) cũng sẽ là đường song song với . Vì vậy, mp a b ( , ) sẽ là đường thẳng đi qua điểm O và song song với đường thẳng , tức là mp a b ( , ) vuông góc với . Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Nhận xét. Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Ví dụ 2. Chứng minh rằng điểm cách đều hai điểm phân biệt cho trước khi và chỉ khi thuộc mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường thẳng . Lời giải. (H.7.18) O Δ O d O Δ (Q) d (P Q ),( ) ab, O d H( .7.16) O Δ abc , , O Δ O Δ .7.17 (H ) M AB, M AB AB