Title CHUYÊN ĐỀ 8. CÂU HỎI.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. - Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: - Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB  . - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a b x y , , , ,     - Độ dài của vectơ AB  được kí hiệu là | | AB  , độ dài của vectơ a  được kí hiệu là | | a  . - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1. a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện? b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng ( ) ABC ? c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu#a. Giải a) Có ba vectơ là AB AC ,   và AD  . b) Trong ba vectơ AB AC ,   và AD  chỉ có hai vectơ AB  và AC  có giá nằm trong mặt phẳng ( ) ABC . c) Vì tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên | | | | | | 1 AB AC AD       . Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. - Hai vectơ a  và b  được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b    , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: - Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a  cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OM a    . - Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA BB , ,   gọi là các vectơ-không. CHUYÊN ĐỀ 8. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ - Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0  . Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC A B C     . a) Trong ba vectơ BC CC ,    và B B  , vectơ nào bằng vectơ AA  ? Giải thích vì sao. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Xác định điểm M  sao cho MM AA      . Giải a) Hai đường thẳng AA và BC chéo nhau nên hai vectơ AA  và BC  không cùng phương. Do đó, hai vectơ AA  và BC  không bằng nhau. Tứ giác ACC A  là hình bình hành nên AA CC / /   và AA CC    . Hai vectơ AA  và CC  có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau. Tương tự, hai vectơ AA  và B B  có cùng độ dài và ngược hướng nên hai vectơ AA  và B B  không bằng nhau. b) Gọi M  là trung điểm của cạnh B C  . Vì tứ giác BCC B  là hình bình hành nên MM BB / /   và MM BB    . Hình lăng trụ ABC A B C     có AA BB / /   và AA BB    , suy ra MM AA / /   và MM AA    . Hai vectơ MM   và AA  có cùng độ dài và cùng hướng nên MM AA      . Vậy trung điểm của cạnh B C  là điểm M  cần tìm. 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a  và b  . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B C, sao cho AB a BC b   ,     . Khi đó, vectơ AC  được gọi là tổng của hai vectơ a  và b  , kí hiệu là a b    . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian: - Nếu A B C , , là ba điểm bất kì thì AB BC AC      ; - Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC      . Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD A B C D      có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của vectơ BC DD    .
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 Giải Tứ giác ABCD là hình vuông nên BC AD    . Do đó BC DD AD DD AD             . Tứ giác ADD A  là hình vuông nên 2 2 AD AD DD 2      , suy ra BC DD 2      . Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau: - Tính chất giao hoán: Nếu a  và b  là hai vectơ bất kì thì a b b a        . - Tính chất kết hợp: Nếu a b,   và c  là ba vectơ bất kì thì ( ) ( ) a b c a b c            . - Tính chất cộng với vectơ 0  : Nếu a  là một vectơ bất kì thì a a a     0 0      . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ a b,   và c  là a b c      mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng AC BD AD BC        . Giải Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có AC AD DC      . Từ đó lần lượt áp dụng tính chất của phép cộng vectơ trong không gian, ta được: ( ) ( ) ( ) . AC BD AD DC BD AD DC BD AD BD DC AD BC                          Quy tắc hình hộp. Cho hình hộp ABCD A B C D      . Khi đó, ta có AB AD AA AC          . Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD A B C D      . Chứng minh rằng BC DC AA AC          . Giải Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC AD    và DC AB    . Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra BC DC AA AD AB AA AC                 . b) Hiệu của hai vectơ trong không gian Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a  được gọi là vectơ đối của vectơ a  , kí hiệu là a  . Chú ý - Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0  . - Vectơ BA  là một vectơ đối của vectơ AB  . - Vectơ 0  được coi là vectơ đối của chính nó. Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian:
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Vectơ a b  ( )   được gọi là hiệu của hai vectơ a  và b  và kí hiệu là a b    . Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. Nhận xét. Với ba điểm O A B , , bất kì trong không gian, ta có OB OA AB      . Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD , . Chứng minh rằng: a) AM  và CN  là hai vectơ đối nhau; b) SC AM AN SA        . Giải a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB CD  và AB CD / / , suy ra AM CN  và AM CN / / . Hai vectơ AM  và CN  có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau. b) Từ câu a, ta có CN AM     . Suy ra SC AM AN SC CN AN SN AN SN NA SA                      . 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Tương tự như tích của một số với một vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về tích của một số với một vectơ trong không gian: Trong không gian, tích của một số thực k  0 với một vectơ a  0   là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau: - Cùng hướng với vectơ a nếu k  0 ; ngược hướng với vectơ a  nếu k  0 ; - Có độ dài bằng | | | | k a   . Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Chú ý - Quy ước ka  0   nếu k  0 hoặc a  0   . - Nếu ka  0   thì k  0 hoặc a  0   . - Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a  và b b( 0)     cùng phương là có một số thực k sao cho a kb    . Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C     . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB AC , . Gọi O là giao điểm của AB và A B .