Title Rangkuman - Bab Vektor.pdf ✅

MAT 3 1 materi78.co.nr VEKTOR Vektor A. PENDAHULUAN Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah yang digambarkan dalam anak panah (garis). Vektor diberi nama dengan huruf kecil bergaris atas atau menyebut titik pangkal dan ujungnya. 1) Anak panah menunjuk arah yang ditunjuk vektor. 2) Besar kecilnya vektor dilambangkan dengan besar kecilnya anak panah. Bentuk penulisan vektor: 1) Vektor posisi, ditulis dalam notasi vektor terhadap titik acuan. Contoh: vektor posisi titik A dari O adalah OA̅̅̅̅. 2) Vektor basis, ditulis dalam vektor satuan. Vektor satuan sumbu x adalah i, sumbu y adalah j, dan sumbu z adalah k. Vektor satuan (e̅) yang searah dengan vektor a̅: 3) Vektor kolom dan baris, ditulis dalam matriks kolom atau baris. Vektor a̅ dan b̅ dikatakan searah apabila sejajar dan menunjuk arah yang sama (a̅ = b̅), dan dikatakan berlawanan apabila sejajar namun menunjuk arah yang berlawanan (a̅ = -b̅). Dua vektor dikatakan sama besar apabila searah, sama besar (panjang) dan sama vektor basisnya. B. VEKTOR PADA BIDANG DAN RUANG Vektor pada bidang dinotasikan oleh sumbu x dan sumbu y dengan vektor satuan i dan j. Vektor pada ruang dinotasikan oleh sumbu x, y dan x dengan vektor satuan i, j dan k. Vektor basis dapat ditentukan dengan menghitung vektor satuan mulai dari ujung ke pangkal vektor. Vektor basis AB dengan koordinat titik A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2) diketahui dapat dihitung: Dalam bidang Dalam ruang Panjang vektor dapat dihitung: Dalam bidang Dalam ruang Contoh: Nyatakan vektor OA dan BC (pada gambar 1) dalam vektor basis, dan tentukan panjangnya! Jawab: OA̅̅̅̅ = 4i + 3j |OA̅̅̅̅| = √4 2+3 2 = √25 = 5 BC̅̅̅̅ = 3i – 2j |OA̅̅̅̅| = √3 2+2 2 = √13 Contoh: Nyatakan vektor OA dan BC (pada gambar 2) dalam vektor basis, dan tentukan panjangnya! OA̅̅̅̅ = 2i + 3j + 2k |O̅̅̅A̅| = √2 2+3 2+2 2 = √17 BC̅̅̅̅ = 2i – 3j + k |OA̅̅̅̅| = √2 2+3 2+1 2 = √14 | ̅AB̅̅̅| = √x 2+y 2 | ̅AB̅̅̅| = √x 2+y 2+z 2 a̅ = x.i + y.j + z.k e̅ = a̅ |a̅| a̅ = ( x y z ) a̅ = (x y z) O A i j +x +y B C -x -y O i j +y +z +x k 3 2 A 2 1 B C ̅AB̅̅̅= b̅ – a̅ = ( x2 - x1 y2 - y1 ) ̅AB̅̅̅= b̅ – a̅ = ( x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 )
MAT 3 2 materi78.co.nr VEKTOR C. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR Penjumlahan dan pengurangan vektor digunakan untuk mencari resultan vektor. Resultan vektor dapat dicari dengan menghubungkan pangkal vektor awal dengan ujung vektor akhir. 1) Cara segitiga (dua vektor) 2) Cara jajar genjang (dua vektor) 3) Cara poligon (lebih dari dua vektor) Sudut antara dua vektor adalah sudut yang terbentuk ketika pangkal dua vektor dihubungkan. Penjumlahan dan pengurangan vektor dengan panjang vektor dan sudut vektor: Penjumlahan dan pengurangan vektor dengan vektor basis dengan a̅ = (x1, y1, z1) dan b̅ = (x2, y2, z2) diketahui dapat dihitung: Sifat penjumlahan dan pengurangan vektor adalah komutatif. D. PERKALIAN SKALAR DAN VEKTOR Perkalian matriks dengan suatu bilangan dioperasikan dengan: Perkalian skalar/titik (•) menghasilkan besaran skalar, memiliki definisi: Perkalian skalar dengan vektor basis dengan a̅ = (x1, y1, z1) dan b̅ = (x2, y2, z2) diketahui dapat dihitung: Sifat-sifat perkalian skalar: Identitas Vektor satuan Komutatif Distributif Asosiatif Tegak lurus Perkalian vektor/silang (×) menghasilkan besaran vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor yang dikali silang, memiliki definisi: Perkalian vektor dengan vektor basis dengan a̅ = (x1, y1, z1) dan b̅ = (x2, y2, z2) diketahui dapat dihitung: a × b = | i j k x1 y 1 z1 x2 y 2 z2 | i j x1 y 2 x2 y 2 Sifat-sifat perkalian vektor: Identitas Vektor satuan Anti- Komutatif Distributif a • a = |a|2 i • j = j • k = k • i = 0 i • i = j • j = k • k = 1 a • b = b • a a • (b ± c) = (a • b) ± (a • c) (m.a) • (n.b) = (m.n)(a • b) a • b = 0, maka a ┴ b a × a = 0 j × i = -k k × j = -i i × k = -j i × j = k j × k = i k × i = j i × i = j × j = k × k = 0 a × b ≠ b × a a × b = -(b × a) a × (b ± c) = (a × b) ± (a × c) (b ± c) × a = (b × a) ± (c × a) A̅ B̅ A̅ B̅ A̅ B̅ C̅ |a̅ + b̅| = √|a| 2+|b| 2+2|a||b|cosθ |a̅ - b̅| = √|a| 2+|b| 2- 2|a||b|cosθ a̅ + b̅ = ( x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 ) a̅ - b̅ = ( x1 - x2 y1 - y2 z1 - z2 ) A + B = B + A k( x y z ) = ( k.x k.y k.z ) k. a̅ = k.|a̅| a̅ • b̅ = |a||b|cosθ a̅ • b̅ = ( x1 . x2 y1 . y2 z1 . z2 ) a̅ × b̅ = |a||b|sinθ e̅ a̅ × b̅ = (y1.z2 – y2.z1) i + (z1.x2 – z2.x1) j + (y1.x2 – y2.x1) k
MAT 3 3 materi78.co.nr VEKTOR Sudut dua vektor dapat dicari menggunakan perkalian skalar. E. PERBANDINGAN VEKTOR Perbandingan vektor pada ruas garis dapat memenuhi dua ketentuan: 1) Titik C membagi ruas garis AB pada ruas garis Perbandingan ruas garis (sama tanda) Vektor pembagi ruas garis 2) Titik C membagi ruas garis AB di luar ruas garis Perbandingan ruas garis Vektor pembagi ruas garis Ketentuan perbandingan vektor menurut letaknya: 1) Kolinear, yaitu ketiga titik satu terletak pada satu garis, berlaku: dst. 2) Koplanar, yaitu ketiga titik terletak pada satu bidang, berlaku: dst. Dalil Menelaus pada perbandingan ruas garis: F. PROYEKSI VEKTOR Proyeksi vektor adalah penjatuhan ujung suatu vektor secara tegak lurus terhadap suatu acuan. Proyeksi vektor pada suatu vektor/ruas garis lain disebut proyeksi ortogonal. Proyeksi ortogonal terdiri dari: 1) Proyeksi vektor ortogonal, adalah vektor baru hasil penjatuhan vektor secara tegak lurus. 2) Proyeksi skalar ortogonal, adalah panjang vektor baru. cosθ = a̅ • b̅ |a̅||b̅| a̅ b̅ c̅ O A B C m n AC̅̅̅̅ : ̅CB̅̅̅ = m : n c̅ = m.b̅+n.a̅ m+n a̅ b̅ B A O m n c̅ C AC̅̅̅̅ : ̅CB̅̅̅ = m : -n c̅ = m.b̅-n.a̅ m-n ̅A̅̅B̅ = k. A̅̅̅C̅ A̅̅̅C̅ = m. ̅A̅̅B̅ A̅̅̅C̅ = n. ̅CB̅̅̅ a̅ = m.b̅+n.c̅ b̅ = p.a̅+q.c̅ c̅ = r.a̅+s.b̅ A B C D E F AD DB . BE EC . CF FA = 1 AC CF . FE ED . DB BA = 1 a̅ b̅ c̅ O c̅ = [ a̅ • b̅ |b̅| 2 ]. b̅ |c̅| = a̅ • b̅ |b̅|